考研笔记

正定平方根与矩阵分解

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一、正定平方根定理

正定存在唯一的正定矩阵使
  • 存在：（），取 ，其中 ；
  • 唯一：唯一性只在”正定”这个限定下成立。

放宽到"实对称"，平方根立刻不唯一

的实对称解有 共 个（每个特征值可取 ），再加上任意正交相似，实际上有无穷多。正定的限制把每个 里的负号砍掉，才换来唯一性。

同理， 只是半正定时正定平方根不存在（ 奇异），但半正定平方根存在且唯一。

二、求 （， 正定）的三步

  1. 求 的谱与正交阵 ：；
  2. ；
  3. 能用谱分解就别做矩阵乘法：
是单位特征向量

三、只有两个不同特征值时的一行公式（本章最常用）

设 实对称，只有两个不同特征值 ， 是到 特征子空间的正交投影阵，则 ，

常见的 ：

的形状 的方向

四、两个必须会背的求逆公式

为阶全阵

（都来自 、——秩 1 修正只在自己那一维上动手。）

五、极分解 （ 正交， 正定）

可逆时：正定，验证 正交只需一行：，几何意义：任何可逆线性变换都可以分解成”先沿正交主轴拉伸，再作一次刚体旋转/反射”。

必考

880 第十五章基础选择 5

原题

设 均为 阶实方阵，则下列命题中正确的是（　）.

A. 若 是实对称矩阵，则存在唯一可逆矩阵 ，使得 B. 若 是实对称矩阵，则存在唯一正交矩阵 ，使得 C. 若 是实对称矩阵，则存在唯一实对称矩阵 ，使得 D. 若 是正定矩阵，则存在唯一正定矩阵 ，使得

解析

四项都在考”唯一性”，逐个找反例：

A ✗：特征向量乘任意非零常数仍是特征向量， 的每一列都可以随便缩放；列的顺序也可以换（ 跟着换）。 有无穷多个。

B ✗：正交的限制去掉了缩放自由度，但列可以整列取反、可以换序。 个互异特征值时 恰有 种取法——仍然不唯一。 （现成反例： 时任何正交阵 都满足 。）

C ✗：两处毛病。

  • 存在性就不一定： 是实对称，但 无实对称解（ 的特征值必 ）；
  • 即使存在也不唯一： 时 都满足。

D ✓：正定平方根定理。存在性由 给出；唯一性是因为 正定强制每个 取正根，且 与 必须共用特征子空间。

选 D。

"唯一性"命题的通用破法：先找自由度

遇到”存在唯一 使 …”的判断题，先问：已有的解上还能做什么手脚而不破坏条件？

  • 缩放某一列 不唯一（A）；
  • 整列取反、换序 不唯一（B）；
  • 每个特征值的平方根取 实对称平方根不唯一（C）。

只有当所有自由度都被条件堵死时，唯一性才成立——D 里”正定”这两个字恰好堵死了全部符号选择。

880 第十五章综合解答 6（第 II 问）

原题（承接 第 I 问，已求得 ）

设二次型 ，在正交变换 下的标准形为 ．

（II）若正定矩阵 满足 ，其中 是 的伴随矩阵，求 ．

解析

由第 I 问，

谱

关键一步：先看 的谱，别急着算矩阵。 与 共用特征向量，特征值为 ：

（）（）和

三个特征值全是 5！ 实对称阵的特征值全相同 它就是那个数乘单位阵：，于是 ， 正定 的特征值都是 ，同理

直接验算（不走谱）

由 与 ：

谱全相同 矩阵是纯量阵——只对可对角化的矩阵成立

实对称，谱

理由：。 反例警告：不可对角化时不成立， 谱全是 1 却不是 。本题因为 实对称、 也实对称，才能这么用。

这个技巧在本章反复出现：一旦发现”所有特征值相等”，整个矩阵就塌缩成一个数，后面的运算全部变成标量运算。

1000 基础第 6 章 12

原题

已知 为 3 阶矩阵， 为 3 阶单位矩阵，且 ，， 为常数．

（1）求矩阵 ； （2）若 正定，求 的取值范围．

解析

记 ，，则 。

第 1 步： 的谱。 第 2 行第 2 列独立给 ；第 1、3 行列的块 谱为 ：谱，第 2 步：用迹定 的谱。 的特征值平方后必须落在 上，故每个特征值 ，且 恰出现一次。又

两个 加一个 要凑出 ，只能是谱（、 都不对）。

第 3 步： 的特征值全非负 是 的半正定平方根，与 共用特征向量。 用一行公式： 也只有两个特征值 ，且（因为 ，即 ）。

验证： 的谱是 且可对角化，故 ，于是 ✓ ✓

（2） 的特征值是 的特征值各减 ：， 正定 三个都为正：

且

（ 已蕴含 。）

" "不能直接开方成""——要靠迹来定符号

的每个特征值 都对应 的 两种可能，三个位置共有若干组合。题目给 就是为了把符号定死。

一般做法：列出所有符号组合，用 （或题目给的其他线性条件）筛选。本题只有一组通过。

这类"零化多项式"能省掉全部矩阵乘法

谱为 且实对称（可对角化） 满足 ，即 。于是 的验证只是标量运算。

凡是只有两个不同特征值的可对角化矩阵，都满足一个二次的零化多项式，它的平方根、幂、逆全都能写成 的形式。见 第14章 特征值的基本性质与多项式变换。

1000 强化第 9 章 24

原题

设 ，，其中 为正定矩阵．

（1）求 ； （2）证明存在正交矩阵 ，使得 ，并求出 ．

解析

（1） 先算 ：

谱为 （ 的谱 各加 1）。 正定且 与 共用特征向量，特征值取正平方根：。

用一行公式（ 对应 方向，投影阵 ）：

验证（用 ）：

（2） 令 （ 正定必可逆）。则 ，且

（用到 对称，故 ），所以 正交

求 ：由 的求逆公式（）

注意 每行元素之和都是 2，故 ：

验证 正交：每行长度 ✓；

验证 ：

这就是 极分解：任何可逆变换 = 正交变换 正定拉伸

正交（旋转反射）正定（沿正交主轴拉伸）

几何图像： 把单位球变成一个椭球—— 负责”把球压成椭球”（主轴方向就是 的特征向量，拉伸倍数就是特征值）， 负责”把这个椭球整体转到最终位置”。

复数域上的类比是 ： 是模， 是幅角。

"每行和相同"让 ，把矩阵乘法变成标量乘法

本题 不对称，但每行元素之和都是 2，于是 ，进而 。

这一条把 的计算从” 矩阵乘法”降成”减去一个 “。看到 参与运算，先查一遍行和、列和。

拓展

880 第十五章综合解答 8（第 II 问）

原题（承接 第 I 问，已求得 ，）

设二次型 经过正交变换 化为标准形 ，又 ，其中 ．

（II）若正定矩阵 满足 ，求 ．

解析

由第 I 问：谱， 的特征向量是 （），且

平移谱： 的特征值是 （对应 ）与 （二重），全正，故 正定，正定平方根存在唯一。 的特征值是 。

用一行公式（）：

验证（用 ）：

用 表示，比先求 再乘三个矩阵快一个数量级

常规路线要：求 的两个特征向量 施密特 单位化拼 算 （两次 乘法）。

谱分解路线只要：认出”只有两个不同特征值” 写出 代一行公式。 的特征向量从头到尾没出现过。

适用信号：特征值只有两个不同值，且其中一个的特征子空间是一维的（由某个已知向量 张成）。 本章这类题极多。

880 第十五章拓展解答 3（第 II 问）

原题（承接 第 I 问，已求得 ，）

设二次型 经正交变换 化为 ，其中 ．

（II）求可逆矩阵 ，使得 ．

解析

由第 I 问，谱，

谱全正

故 正定， 存在（“正定 存在可逆 使 “，见 880 基础解答 3）。

注意题目要的是 ，不是平方根—— 不必对称，所以配方法最省事（不必求特征向量）：

令

则 ，其中 ：

于是 对一切 成立，即 。

验证（ 的三列为 ）：

与 是两个不同的问题

要求 / 的限制唯一吗怎么求
只要可逆无穷多个（ 换成 ， 任意正交，仍成立）配方法（最快）
， 正定正定（含对称）唯一谱分解

两者的关系： 是那个恰好对称的 （此时 ）。

看清题目要哪一个：要 就配方，要正定平方根才动特征值。本题若误用谱分解，计算量翻好几倍还容易错。

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