考研笔记

正定平方根与极分解

🏠 第15章概念导航

核心问题

矩阵能开平方吗？什么条件下平方根存在、什么条件下唯一？ 为什么”正定”这两个字恰好换来唯一性？

核心定义 / 定理 / 结论

正定平方根定理

正定存在唯一的正定使
  • 存在：（），取 ；
  • 唯一：唯一性只在”正定”的限定下成立。

放宽到"实对称"，平方根立刻不唯一

的实对称解至少有 个（每个特征值可取 ），再加正交相似就是无穷多。正定把每个 的负号砍掉，才换来唯一性。

半正定时正定平方根不存在（ 奇异），但半正定平方根存在且唯一。 有负特征值时实对称平方根根本不存在。

求 的三步

  1. 求 的谱与正交阵 ；
  2. ；
  3. 能用谱分解就别做矩阵乘法：。

只有两个不同特征值时的一行公式

设 只有两个不同特征值 ， 是到 特征子空间的正交投影阵，则

常见的 ：

的形状 的方向

这条公式让整道题不必求出 的任何一个特征向量。

谱分解成形后，一切运算都变成”对系数动手”

两两正交且单位时 、，故

两个必背的求逆公式

（来源：、——秩 1 修正只在自己那一维上动手。）

极分解

可逆时：

正定正交

验证只需一行：。

与 ：两个不同的问题

要求限制唯一吗怎么求
只要可逆无穷多（， 任意正交）配方法（最快）
， 正定正定（含对称）唯一谱分解

就是那个恰好对称的 。看清题目要哪一个——要 就配方，要正定平方根才动特征值。

典型题型

  • 已知 求正定的 （本章最常见的”第 II 问”）；
  • 由 反求 （用迹定符号）；
  • 求 使 （配方）；
  • 极分解 ；
  • 唯一性判断题。

图示 / 直觉

正定平方根 = “拉伸一半”。 正定意味着它沿 条正交主轴分别拉伸 倍； 就是沿同样的轴各拉伸 倍——做两次恰好还原 。要求”正定”就是要求”每根轴上都是正向拉伸，不许翻面”，翻面的自由度一旦禁止，答案就唯一了。

极分解 = 矩阵版的 。 任何可逆变换都可以拆成”先沿正交主轴拉伸（，相当于模 ），再做一次刚体旋转/反射（，相当于幅角 ）“。几何上： 把单位球变成椭球， 负责把球压成椭球， 负责把椭球转到最终位置。

常见误用

" "直接开方成""

的每个特征值都对应 的 两种可能。必须用 （或其他线性条件）把符号定死。

以为实对称平方根也唯一

只有正定平方根唯一。 与 的平方都是 。

求 时去做谱分解

计算量翻好几倍。配方法直接给出一个上三角的 。

奇异时还用

改用通用式 ，它对可逆与奇异一律适用。

"所有特征值相等 矩阵是纯量阵"用在不可对角化的矩阵上

这条只对可对角化的矩阵成立。 谱全是 1 却不是 。用在实对称阵上永远安全。

与旧知识的连接

  • 第14章：谱分解 是本页全部公式的来源；零化多项式（“只有两个特征值 满足一个二次方程”）让平方根、幂、逆都能写成 ；
  • 第11章：、 的求逆是那里”用多项式因式分解求逆”的直接应用；
  • 第15章内部： 是”正定”的第 5 条等价刻画，配方法是它的构造性证明。

题型训练

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