合同与惯性定理

核心问题

同一个二次型换一组坐标就变了模样。换坐标时什么在变、什么绝不会变？ 这个”绝不会变的东西”就是合同关系的全部内容。

可 逆

来源：二次型作可逆线性变换，，新坐标下的矩阵就是。 所以”合同”恰是”同一个二次型的不同坐标表示”。

可 逆 线 性 变 换 不 改 变 正 惯 性 指 数 与 负 惯 性 指 数

因此也不变，规范形唯一：

相 同 规 范 形 相 同 同 秩 且 同 正 惯 性 指 数

" 实对称"往往是要判断的一部分，不是白给的

若而对称，则必对称。所以题目说” 是阶矩阵”时，” 对称”是合同的必要条件，必须显式选中。

相 似 等 价 合 同 等 价

相 似 合 同 合 同 相 似

唯一交汇点：正交时，同一个式子既是相似又是合同。

满 足

对换阵、反序单位阵、Householder 阵都满足，故同时是相似变换与合同变换。“行列同时对换”型的题一律答”等价、相似且合同”。

把二次型想成一张等高面（的那个椭球/双曲面）。

可逆线性变换 = 任意拉伸和剪切坐标系：椭球可以被拉成球、压成长条，但**“有几个方向是正的、几个是负的”改不掉**——正的方向撑出闭合面，负的方向撑出敞开的喇叭口，这是拓扑性质，拉伸压缩动不了；
正交变换 = 只允许刚体旋转：连拉伸都不许，所以椭球的三个半轴长度（）也保住了。

这就是”合同只保号、正交还保值”的几何来源。

以为相似就蕴含合同

与不相似（后者不可对角化），但更根本的问题是：不对称的矩阵谈不上与对称阵合同。凡目标矩阵不对称，与（正交）两条路一票否决。

以为合同就蕴含相似

（都是），但谱不同，不相似。合同只数正负号的个数，不管数值。

只对齐秩，忘了对齐惯性指数

与同秩不合同。含参题里”秩相等”只是第一步。

与天差地别

$正定一大类只有一个$