考研笔记

合同与正定：二次型的坐标语言和碗形结构

它解决什么问题

相似变换和合同变换长得很像，但它们在回答不同问题：

是线性变换换基；是二次型换变量。

这页要把两件事连起来：

  • 为什么合同里出现；
  • 为什么正定是二次型里最重要的稳定结构。

相似和合同的主次区别

相似变换处理的是线性变换：，如果旧坐标，那么新坐标下的矩阵是

它的三步是：

新坐标旧坐标旧坐标结果新坐标结果

合同变换处理的是二次型：，做变量代换：，所以新变量下的二次型矩阵是

转置不是多出来的技巧，而是因为二次型左右各有一个：右边的变成，左边的变成。

合同保留什么

合同不保特征值。比如

则

特征值从变成，所以合同不是相似。

合同真正保留的是二次型的本质结构：

正平方项有几个、负平方项有几个、零方向有几个。

这就是惯性指数的思想。二次型换变量后，图像可以被拉伸、压缩、旋转，但“碗形、马鞍、压扁”的类型不会乱变。

为什么要定义正定

正定回答的是：

除外，会不会永远大于？

若对所有都有，就称实对称矩阵正定。

直觉上：

正定二次型像长度平方一样可靠，非零方向一定测出正值。

最典型的例子是

几何图像

二维里可以这样区分：

类型例子几何图像
正定碗形，椭圆等高线
负定倒扣的碗
不定马鞍面
半正定有非零方向被测成

所以正定不是为了多背一个判别法，而是为了识别“稳定的二次结构”。

特征值视角

若是实对称矩阵，可以正交对角化：，令，则，于是：

正定全部大于

因为只要有一个，就能沿对应方向让二次型为负；只要有一个，就有非零方向被测成。

常用判别法

在考研线代里，正定通常默认讨论实对称矩阵。常用等价判别是：

正定顺序主子式全正

其中顺序主子式指：，二阶时：

正定

为什么正定有用

  • 它表示二次型可以化成全正平方和；
  • 它表示二次函数是碗口向上的严格凸结构；
  • 它能判断多元函数的严格极小值；
  • 它能定义新的内积；
  • 它在能量函数、最小二乘、优化、协方差矩阵中表示稳定性。

在多元微分中，Hessian 矩阵给出的二阶 Taylor 项就是一个二次型。因此二元函数极值判别里的 ，本质上就是二维 Hessian 矩阵的行列式；先看 ，再看 ，就是二维情形下的正定、负定判别。

常见误用

  • 合同一般不保特征值，不要用相似矩阵的性质套它。
  • 正定默认要先关注实对称矩阵；非对称矩阵的只和对称部分有关。
  • 半正定不是正定。正定要求非零向量严格大于。

链接

反向链接