考研笔记

合同的判定与过渡矩阵

🏠 第15章概念导航 · 二次型题库

方法模板

一、三种关系的判据总表（本章最该背下来的一张表）

关系定义完全不变量判据
等价， 可逆秩同型 + 同秩
相似全体特征值 + 每个 的几何重数谱相同 + 每个 的 相同
合同秩 + 正惯性指数都实对称 + 同秩 + 同正惯性指数

两个实对称矩阵之间，判据大幅简化：

谱相同相同规范形相同

二、包含关系：谁推得出谁

相似等价合同等价 相似合同合同相似
方向反例
相似 合同，： 不对称，谈不上与对称阵合同
合同 相似 与 ： 相同，合同；谱不同，不相似

唯一的交汇点： 实对称、 正交时，同一个式子同时是相似变换和合同变换。所以”经正交变换化为 “这个条件比”合同于 “强得多——它额外要求谱相同。

三、“行列同时对换”为什么三种关系全占

对换矩阵 满足，于是 可以同时读成 （相似）和 （合同），秩当然也不变（等价）。同一个矩阵一人兼三职——这类题只要认出 是对称的正交阵，答案立刻是”等价、相似且合同”。

推广：任何既对称又正交的矩阵（对换阵、反序单位阵、Householder 阵 ）都有这个性质。

四、求合同变换矩阵：中间站是规范形

公共规范形

各自由配方法给出。记不住方向就现推：把 两边左乘 、右乘 ， 就露出来了。

五、含参题的三步固定顺序

  1. 秩对齐：由目标矩阵的秩定 之类的方程，解出参数候选；
  2. 回代验秩：候选里常有让秩掉得更多的，剔除；
  3. 惯性指数对齐：配方或顺序主子式定 ，再定剩下的参数范围。

若题目还要”不相似”或”不可经正交变换”，第 4 步才是比较谱——这一步通常只排除一个孤立的值。

必考

880 第十五章基础选择 3 ≡ 1000 基础第 6 章 9

原题（880）

设 是 阶方阵，将 的第 列与第 列互换，再交换第 行与第 行得到 ，则（　）.

A. 与 等价、相似且合同　　B. 与 相似、合同但不等价 C. 与 相似但不合同　　D. 与 等价但不相似

原题（1000，同一道题换了叙述顺序）

设 为 阶方阵，，，互换 的第 行与第 行得到矩阵 ，再互换 的第 列与第 列得到矩阵 ，则 与 （　）.

(A) 等价，相似且合同　　(B) 等价，合同但不相似　　(C) 合同，相似但不等价　　(D) 等价，相似但不合同

解析（一份解析，两题共用）

记 为对换初等矩阵。“换列”是右乘 ，“换行”是左乘 ，两个动作合起来就是或先后顺序不影响结果，关键在 的三重身份：，于是同一个式子可以三种读法：

读法结论
（相似）
（合同）
， 可逆，同型（等价）

三者全占，880 选 A，1000 选 (A)。

认出"对称的正交阵"，这类题就结束了

既对称（）又正交（），所以 与 是同一个东西。

同族成员：对换阵、反序单位阵（副对角线全 1）、Householder 阵 （）。看到它们做”夹心”，立刻知道相似与合同同时成立。

反过来提醒：只换行不换列（）就只有等价，相似和合同都没有。题干里”行、列都换且换的是同一对”是必须读到的细节。

880 第十五章综合选择 2

原题

是 阶实对称矩阵， 是 阶矩阵，则 合同于矩阵 的充分必要条件是（　）.

① ；② 与 的正惯性指数相等；③ 与 均正定矩阵；④ 是实对称矩阵．

A. ① 成立　　B. ④ 成立　　C. ①②④ 均成立　　D. ③ 成立

解析

注意题干的关键设置： 已知实对称，但 只是” 阶矩阵”，所以” 对称”不是白给的条件，而是要判断的一部分。

④ 是必要的：若 ，则， 必对称。

①② 是必要的：合同保持秩与正惯性指数（惯性定理）。

①②④ 合起来充分： 对称后， 各有规范形；同秩 + 同正惯性指数 负惯性指数也相同 规范形相同 二者都合同于同一个规范形 彼此合同。

选 C。

逐项排除其余：

选项为什么不行
A（只有①） 与 同秩，但 分别是 ，不合同
B（只有④） 与 都对称，秩不同，不合同
D（③）不必要——两个负定阵也可以合同，正定不是前提；且③本身不含” 对称”以外的秩信息时也不充分（正定已蕴含满秩同 ，故③是充分不必要）

合同关系只在 实对称矩阵之间才有完整理论

惯性定理、规范形唯一、“同秩同 即合同”这一整套，前提都是矩阵对称。题目一旦把 的对称性抽掉，” 对称”就必须作为答案的一部分被显式选中——这正是本题把 ④ 单列出来的用意。

880 第十五章综合选择 7

原题

设 ，，则下列选项中正确的是（　）.

A. 必存在正交矩阵 ，使得 B. 必存在可逆矩阵 ，使得 C. 必存在可逆矩阵 ，使得 D. 必存在可逆矩阵 ，使得

解析

先算两个谱：

谱 谱

B 正确：两个矩阵都有两个互异特征值 都可对角化 都相似于 彼此相似。

逐项排除：

选项致命点
A 正交时 必对称，而 不对称 ✗
C 在 对称时必对称， 不对称 ✗
D 要求 正定，而 有特征值 ✗

选 B。

"目标矩阵不对称"是一票否决

A、C 两项都栽在同一件事上： 实对称时， 和 永远是对称的。所以只要看一眼 不对称，这两项直接出局，一秒钟的事。

反过来，B 项的""没有这个限制——相似变换完全不保对称性。这正是相似与合同最直观的差别。

880 第十五章基础选择 2

原题

设 与 合同，则合同变换矩阵 （　）.

A. 　B. 　C. 　D.

解析

要 。对角阵之间，逐列代入是最快的判法：的第列，先排除不可逆的：选项 A 的第 1、3 行相同，选项 D 的第 2 列是零向量，都不可逆 ✗

选项 B：三列依次是 。

正是 ✓（非对角元自然为 0，因为 ）

选项 C：三列是 ，给出 ✗

选 B。

置换矩阵下的合同 = 对角元换位

对角阵 与置换矩阵 （每列一个 1）， 就是把 按 指定的方式重排。

这也顺带说明了为什么标准形的系数可以任意换序——置换阵既正交又可逆，换序既是合同又是相似。所以 与 不但合同，还相似。

1000 基础第 6 章 8

原题

设 ，，则 和 （　）.

(A) 不相似且不合同　　(B) 相似但不合同　　(C) 不相似但合同　　(D) 相似且合同

解析

是 4 阶反序单位阵，满足 且 ，所以特征值只能是 。数一数各占几个：

  • （对称向量）：，解空间 2 维 二重；
  • （反对称向量）：，解空间 2 维 二重。
谱谱

相似： 都是实对称，都可对角化，谱相同 相似 ✓

合同： 两边一致 合同 ✓

选 (D)。

一步锁死谱

满足 的矩阵，零化多项式 无重根，所以 一定可对角化，特征值只能取 。剩下的工作只是数重数，而重数可以用秩来数：

这是第14章的零化多项式判据在本章的直接复用，见 第14章 特征值的基本性质。

1000 基础第 6 章 14

原题

设 ，，若 与 合同但不相似，则常数 的取值范围为（　）.

(A) 且 　(B) 且 　(C) 且 　(D) 且

解析

两个矩阵都是分块对角，谱直接读。

：与的谱

后者 ，，谱为 。

谱 ：的谱是再加上谱

合同（同秩、同 ）： 已有一正一负，要 必须 。

不相似（谱不同）：，即 。

且

选 (C)。

"合同但不相似"是一道两步题

第一步用惯性指数画出一个区间，第二步用谱从区间里挖掉一个点。

干扰项 (D) 里的 是个精心设计的坑： 时谱是 ，与 确实不同，所以 是合法的，不该被挖掉。要挖的是让谱恰好重合的那个值，也就是 的第三个特征值 。

1000 基础第 6 章 15

原题

设二次型 与 合同，则（　）.

(A) 　　(B) 　　(C) 　　(D)

解析

第 1 步 秩对齐： 的矩阵是 。注意 的二阶主子式 ，故 恒成立，所以 、，即 ：，回代验秩： 时 、，秩恰为 2 ✓

第 2 步 惯性指数对齐：顺序主子式 ，配方验证：，。 要 ，需 。

选 (C)。

这个 在强化篇里又出现了一次

1000 强化 9-1 用的是同一个 ，问的是”可经可逆线性变换但不可经正交变换化为 “。两题合看能把”合同”与”正交相似”的差别看得极清楚——见下一条。

1000 强化第 9 章 1

原题

已知二次型 可经可逆线性变换但不可经正交变换化为 ，则 的取值范围为（　）.

(A) 　(B) 　(C) 　(D)

解析

与上一题完全相同，已知： 时 、。

“可经可逆线性变换化为 ” = 合同： 的矩阵 要同秩同 ，得，“不可经正交变换化为 ” = 谱不同。算 （）的谱：，，

谱

谱。两者相同当且仅当 ，所以”不可经正交变换”要求

选 (D)。

一句话记住两个条件的分工

可逆线性变换合同只管
正交变换合同相似还要管特征值本身

本题把两者拼在一起：前者给出区间 ，后者从中挖掉一点 。“挖掉的那一点”永远是让谱完全重合的那个值，与上一题（1000 基础 6-14）的结构一模一样。

1000 基础第 6 章 21

原题

设二次型 的矩阵为 ，则与 既相似又合同的矩阵是（　）.

(A) 　(B) 　(C) 　(D)

解析

是分块对角： 的谱是 ，再加上 ，故谱谱， 仍实对称（），故可对角化，相似于 ；而 与 一致，合同也成立。

选 (B)。

逐项排除：(A) 谱 不同，不相似；(C) 秩为 1，两条都不满足；(D) 满秩，与 矛盾。

"既相似又合同"时，相似是更强的那一条

谱相同 惯性指数相同（对实对称阵）。所以对角阵之间，先比谱，谱相同就两条都成立，谱不同就直接排除。反过来只有合同要求时，才需要退回去只数正负号。

这也解释了本题为何四个选项里只有一个对：谱是三个数，能同时对上的对角阵实质唯一（差一个排序）。

880 第十五章基础解答 4

原题

设 与 合同．

（I）求 的值及 的取值范围； （II）若存在正交矩阵 ，使得 ，求 及 ．

解析

（I） 至少有一个 0 对角元。若 则 ；由合同同秩得 ，即 ：

回代：，有 ，秩恰为 2 ✓

求 的谱：，，

谱

要有 ：

（ 时 ， 时 ，都不行。）

（II） 正交变换比合同强：，所以还要求 ，谱必须相同：，求特征向量：

方程特征向量

（两两正交 ✓）按 的对角元顺序 排列：

两问是"同一个 ，两种强度的要求"

第（I）问只要合同 是一个区间 ；第（II）问加上正交 缩成一个点 。

这个对比把本章的核心区别演示得最干净：合同只数正负号的个数，正交相似要求数值逐个相等。凡看到题目从”合同”升级到”存在正交矩阵”，第一反应就是”该比谱了”。

拓展

880 第十五章综合选择 5

原题

设 ，，，，则下列选项中正确的是（　）.

A. 与 相似， 与 合同 B. 与 相似， 与 合同 C. 与 合同， 与 相似 D. 与 相似， 与 合同

解析

先把三个非单位阵的”可对角化性”查清楚。

：，特征多项式 ， 二重。几何重数：

不可对角化，相似标准形是 Jordan 块 。

：同样 二重，，也不可对角化。

于是 （同为 ）✓，而 、（ 只与自身相似）。这一下把 B、D 两个选项排除。

再看 与 的合同。 取

与 合同 ✓（顺带也相似，因为这个 同时是 ）。

选 A。

最后核对 C 项为什么错： 不对称，而 恒对称，所以 与 不可能合同 ✗

是本题的钥匙

它把矩阵”沿反对角线翻转”： 的效果是把 、。 与 恰好互为转置，一次翻转就到位。

而这个 既对称又正交，所以 ——与本节开头”行列同时对换”是同一个原理。遇到”某两个矩阵互为转置”，先想这把钥匙。

与 相似，但都与 不相似

特征值全是 1 却不等于 ——这是第14章”谱相同 相似”的经典场景。判据是几何重数： 的 几何重数为 2， 都只有 1。见 第14章 可对角化的判定。

1000 基础第 6 章 18

原题

设 为 维列向量，，．若矩阵 使得 ，则 （　）.

(A) 　(B) 　(C) 　(D)

解析

把 写成 右乘一个 阵——这是全题唯一的技术动作：

于是

选 (C)。

另解（逐元直接算，验算用）

记 ，即 ，，。逐元展开：

得 ✓

"换一组基"= 右乘过渡矩阵，合同关系自动跟着走

这是本章与第12章基变换的接口：

即新的度量矩阵 = 旧的度量矩阵在过渡矩阵下的合同变换。 可逆（这里 ）时， 与 合同，秩与惯性指数都不变——四个选项里只有 (C) 的秩是 1，光凭这一点就能选出来。

秒杀检查： 且秩为 1，故答案的秩也必须是 1。(A) 行列式 、(B) 秩 1、(C) 秩 1、(D) 。剩 (B)(C)，再看 元应为 ，只有 (C) ✓

880 第十五章综合解答 4

原题

设二次型 与 的秩相等（）．问：

（I）当 为何值时，存在可逆（非正交）线性变换 ，可将 化为 ，并求一个可逆矩阵 ； （II）当 为何值时，存在正交变换 ，将 化为 ，说明理由．

解析

先定 （用”秩相等”）。 是分块对角： 秩 1， 贡献 1，故 恒成立。于是要 ，即 ：，由 得 （两者都使 ，因为 ）。

逐个算谱与惯性指数：

的谱 的谱

（ 的谱：把 行列的 块 的谱 与 并起来。 的谱： 与 。）

（I） “存在可逆线性变换把 化为 ” （合同） 同秩、同正惯性指数。上表显示 与 都满足 ：

都可以

取 构造 。此时

两边配好方后逐项对应：令补一个使变换可逆的自由式，解出

验证： ✓

（II） 正交变换要求 ，谱必须逐个相同。对照上表：

  • ：谱，谱 —— 不同 ✗
  • ：谱，谱 —— 相同 ✓

理由： 都是实对称，谱相同即正交相似（各自正交对角化到同一个 ，取 ）。

本题是"合同 vs 正交相似"最漂亮的一道对照题

同一对矩阵、同一个参数：

  • 只要合同： 都行，因为两边的 都是 ；
  • 要正交：只剩 ，因为 时谱是 对 ——正负号个数一样，数值完全不同。

“正负号个数一样但数值不同”正是合同成立而相似失败的全部内容。 这道题把它做成了一个具体的参数取舍，比任何抽象叙述都直观。

1000 强化第 9 章 16

原题

已知实矩阵 ，，其中 为非负整数，且 与 合同．

（1）求 的值； （2）求可逆矩阵 ，使得 ．

解析

（1） 实对称，合同要求 也实对称：

，两个特征值异号，。 要有同样的惯性指数：， 为非负整数 ：

（2） 两段接力，中间站取公共规范形 。

侧： ，令 ，则 ，

侧： ，

令 ，则 ，

接力： 由 得

，故

验证（逐列代入 ）

根号躲不掉——用行列式先验一遍

，即 ，故 。答案里必然出现 ，看到自己算出的 全是有理数就该警觉。

本题 ✓ 这个一行的检验能挡住绝大多数计算错误。

1000 强化第 9 章 17

原题

设矩阵 与矩阵 合同，求 ，并求可逆矩阵 ，使得 ．

解析

第 1 步：定 的秩与惯性指数。 的第 1、3 行相同，，故 。配方：

余项 ，故

第 2 步：定 。 由 ，沿第 2 行展开：

回代：，第 1、3 行相同， ✓；， ✓ 与 一致，合同成立。

第 3 步：两段接力，公共规范形 。

侧： 令 ，回解得

侧： 令 ，则

（这里直接写 更省事——它就是”新变量用旧变量表示”的系数阵，正是配方直接给出的东西，而接力公式里要用的恰好是它。）

接力： ，

验证（逐元代入 ）

元计算 中对应元
： ✓
： ✓
： ✓
✓
✓
✓

接力公式里用到的是 ，所以别急着求

配方法天然给出的是 （新变量用旧变量表示），而 。接力公式 里出现的正是 本身——也就是说 那一侧根本不用求逆。

记法：“要化成的那个矩阵”用配方的原始系数阵，“要从其出发的那个矩阵”才需要求逆。 本题只对 侧求了一次逆， 侧直接抄。

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