考研笔记

特征值的基本性质与多项式变换

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方法模板

定义式的三种读法

同一个式子,三种用法,考场上要能随时切换:

读法写成用在哪
代数式:一个数乘一个向量已知 反求参数,逐分量比对
方程组:齐次组有非零解求特征向量 = 求基础解系
行列式:系数阵退化求特征值

第二种读法把整章接回第13章:求特征向量的动作,就是求 的基础解系,一步不多一步不少。

三条恒等式(必须背到能反用)

迹和行列式是"免费的两个方程"

凡是题目里出现待定参数、又给了部分特征值,先把 和 两个等式列出来。三阶矩阵通常两个方程就够定两个参数,根本不用展开特征多项式。

多项式与逆的转移表

设 (),则:

矩阵特征值特征向量
还是
还是
还是
( 可逆)还是
( 可逆)还是
(不变)变成
(不变)一般完全不同

表里只有最后两行会动特征向量,而它们的动法正好相反

特征值不变、特征向量按 拖走; 特征值不变、特征向量没有任何简单关系。前者是相似,后者不是。把” 与 有相同特征向量”当成常识,是本章最常见的低级错误之一。

零化多项式:从矩阵等式读特征值

定理 若 ,则 的每个特征值 都满足 。

证明(一行,考场必须能写):,而左边 ,,故 。

单向! 的根未必是特征值

只说明特征值 ,不保证 0 和 1 都出现( 时只有 1)。要确定重数,还得再看秩。反过来用是本章最大的坑。

配套的两条:

  • 无重根 可对角化。 例如 、、 都直接给出可对角化。
  • 实对称 + 零化多项式 = 特征值被彻底锁死。 实对称矩阵特征值全实,凡是 的复根一律作废;若 的实根只剩 0,则 。

求 的三步

  1. 先确认 可对角化(三个不同特征值 / 实对称 / 零化多项式无重根);
  2. 写出 ;
  3. 数 里有几个非零 —— 那就是秩。

第 1 步不能跳

相似保秩,所以 能从对角阵上读。但若 不可对角化,只知道 的特征值,秩就定不下来了(特征值全为 0 的矩阵,秩可以是 )。

必考

880 第十四章基础选择 1

原题 设 是矩阵 的一个特征值,且 ,则 有一个特征值为( ).

A. 　B. 　C. 　D.

解析

答案 B。沿转移表一路走下去,每一步只动那个数:

这个条件用在哪? 用在最后一步取逆:只有 才能取倒数。这里 本来就够,但题目要保证 整体可逆(即 的每个特征值都非零),否则 根本不存在。

这类题不要去求

全程只需要”特征向量不动,特征值跟着做同样的运算”这一句。四个选项里 A 是漏了取逆,C、D 是把 算错或把 用反 —— 每个错项都对应一步操作的遗漏。

880 第十四章基础填空 2

原题 设方阵 满足 ,则 有特征值 ____.

解析

答案 (且只能是 )。

取 ,则 ,故每个特征值满足 ,即 。

填空题要注意问法。 题目问” 有特征值 ____“,答 ;但更完整的事实是: 的特征值全部是 ,一个别的都没有。

不能反推

只说明 是幂零矩阵,不说明它是零矩阵。反例:

这个 特征值全是 ,却不可对角化(否则 就相似于 ,从而 )。这正是零化多项式有重根时的典型景象——见不可对角化与 Jordan 链。

1000 基础篇第5章 4

原题 是 的特征值的充分必要条件为( ).

(A) 　(B) 　(C) 中每行元素之和为 　(D)

解析

答案 B。这题考的是”特征值的定义式到底是哪一个”。

是特征值

(中间一步用 ,符号不影响是否为零。)

三个错项各错在一处:

  • A: 特征值 ,但可以全是 ()。充分性都不成立,更别说必要。
  • C:行和全为 意味着 ,是充分条件;但 是特征值时特征向量未必是 ,故不必要。
  • D:显然只充分。

"行和为常数"这条翻译要背下来

的每行元素之和都等于 是特征值、 是对应特征向量。本章至少有五道题靠这一句开局,包括 880 基础填空 1、1000 基础 12、1000 强化 19。

1000 基础篇第5章 18

原题 设 是 2 阶矩阵,有特征值 ,,则 ____.

解析

答案 。

的特征值是 与 —— 两个都变成了 1。但**“特征值都是 1”还不能推出矩阵是 **,必须补上可对角化这一步:

是 2 阶且有 2 个不同特征值,故存在可逆 使 。于是

出题人埋的点:

这正是 的特征多项式。所以本题其实是凯莱–哈密顿定理的一次伪装:,代入得 ,展开就是 ,即 。这条路连对角化都不用。

两条路都要会:考场上若矩阵不可对角化,第一条路断掉,第二条路照样通。

1000 基础篇第5章 5

原题 设 都是 阶可逆矩阵, 分别是 的特征值和对应的特征向量,则 的特征值和对应的特征向量分别是( ).

(A) 　(B) 　(C) 　(D)

解析

答案 A。两步各管一件事,分开做就不会乱:

第一步(伴随): 可逆时 ,于是，特征值变成 ,特征向量不动。这一步排掉 C、D。

第二步(相似): 令 ( 可逆,故 ),

特征值不变,特征向量被 拖走。这一步排掉 B。

相似变换动向量不动值——记住方向

的特征向量是 而不是 。快速验证法:令 ,则 ,把 写成 ,左乘 就得 。新向量总是”用 的逆去接原向量”。

1000 强化篇第7章 1

原题 设 ,其中 ,则 的伴随矩阵 有非零特征值( ).

(A) 　(B) 　(C) 　(D)

解析

答案 D。这题的题眼是: 这个条件是干什么用的。

第一步:算 。 按第一行展开:

原来 就是为了把 做成奇异的。于是 这条路直接断掉,不能用转移表。

第二步:定 。 ;而左上角二阶子式 ,故 。由伴随秩三分法( 时 ),得 。

第三步:秩 1 矩阵的谱。 特征值 至少 重,于是特征值是 ,且，逐个算代数余子式(注意都是去掉本行本列后的二阶行列式,符号 ):

故 。选 D。

= 所有 阶主子式之和

这是本题的核心。更一般地,特征多项式的系数就是各阶主子式之和:,其中 是所有 阶主子式之和。,,。三阶题里 出现得很频繁,值得单独记住。

三个错项对应三种走岔路

来自误以为 里 该取 之类的符号错; 来自把代数余子式的符号统统当成 乱配。主对角线上的代数余子式符号永远是正的,不必犹豫。

880 第十四章基础填空 3

原题 设 3 阶矩阵 的特征值为 ,,则 ____.

解析

答案 1。

第一步(这一步是采分点): 可对角化。 是 3 阶且有 3 个互异特征值,故 。

第二步:平移到对角阵上。 令 ,则

第三步:相似保秩。 。

没有第一步,这题做不出来

假如题目只说” 的特征值为 “而 不可对角化(三阶三个不同特征值不会发生,但如果特征值是 就可能),那么 的特征值虽仍是 ,秩却无法确定。“特征值 秩”这条路必须经过可对角化这座桥。

反例感受一下: 与 特征值都是 ,秩却分别是 1 和 0。

的两个根恰好都是 的特征值

这不是巧合,是出题人故意选的:让 在 与 处同时归零,只剩 存活,答案才干净地等于 1。看到 型的题,先把 因式分解、再把 的特征值挨个代进去,是最省事的开局。

1000 基础篇第5章 13

原题 设 是 3 阶实对称矩阵,满足 ,则 ____.

解析

答案 0(即 )。

第一步:解零化多项式。 取 ,则 ,故每个特征值满足

或

第二步:实对称把复根全部作废。 实对称矩阵的特征值必为实数,所以 一个都不能取。 的特征值只剩 。

第三步:实对称必可对角化。 ,而与零矩阵相似的只有零矩阵()。故 ,。

"实对称"在这类题里承担两件事

① 把复特征值筛掉;② 保证可对角化。缺任何一件,结论都塌。若题目只说” 是 3 阶矩阵”,那么 完全可以是特征值为 的实矩阵,。看到”实对称”三个字,要条件反射地把这两件事都取出来用。

1000 强化篇第8章 13

原题 设 4 阶实对称矩阵 满足 ,则 .

(A) 0　(B) 0 或 1　(C) 1 或 2　(D) 2 或 3

解析

答案 A,即 ,。

与上一题完全同构,只是零化多项式换成了 :特征值满足 (四重)。实对称 可对角化 。

为什么四个选项会给出 1、2、3? 因为若去掉”实对称”,答案确实是 ——幂零矩阵的秩可以是 到 的任何值。出题人把这几个数摆出来,就是想看你有没有把”实对称”读进去。

一句话结论,直接背

实对称 + 幂零 零矩阵。 更一般地:实对称矩阵由它的特征值完全决定”退化程度”, 非零特征值的个数。这条在下一节判秩、在实对称与正交对角化里反复出现。

与上一题合看

1000 基础 13 与本题是同一个考点的两个难度档:前者的零化多项式含复根(靠”实”筛掉),后者含重根(靠”可对角化”筛掉)。实对称这一个条件,同时挡住了两条逃逸路线。

拓展

880 第十四章基础选择 7

原题 设 3 阶实矩阵 有三重特征值 ,,其中 是 3 阶单位矩阵,,则至少存在一点 ,使得 在点 处的切线( ).

A. 平行于直线 　B. 垂直于直线 　C. 平行于直线 　D. 垂直于直线

解析

答案 C。这是一道线代 + 高数的缝合题,线代部分只有两行,真正的考点在拉格朗日中值定理。

线代部分:把 写成显式函数。

  • 三重特征值 1 ;
  • 。

故，高数部分:拉格朗日。 在 上连续、 内可导,且，故存在 使，斜率 的切线平行于 ,选 C。

四个选项就是四个斜率

A(平行 );B(垂直 ) 切线竖直,可导函数不可能;C ;D(垂直 )。先把选项翻译成斜率,再去算那个平均变化率,题目就只剩一次减法。

是常数,不是 的函数

有人会把 也当成含 的项去求导。它是个数(这里是 1),求导直接没了。真正贡献导数的只有 。

1000 基础篇第5章 21

原题 设 是 3 阶矩阵, 是 的特征值,对应的特征向量为 ,且 , 是 的伴随矩阵,

求参数 及 .

解析

答案 ,,。

思路:题目给的是 ,不要去反解 。 ,所以，于是 也是 的特征向量,对应特征值 。写出定义式并逐分量比对:

三个分量都等于同一个数 ,于是得到两个方程:

第行第行第行第行

第一式给 ,代回得 ,故 ;第二式给 。

验算(必做): 代入后

按第一行展开: ✓。

"题目给 "的标准动作

① 用 定出 ;② 用 把 的特征值换算成 的;③ 特征向量共用,把定义式逐分量比对。全程不反解 —— 这条在由基上的作用定特征值和第13章都强调过。

为什么"三个分量相等"能一次给出两个方程

因为右端是 ,三个分量必须彼此相等。这就把一个含三个未知数()的问题,拆成了两个不含 的方程加一次回代。凡是特征向量取 的题,都可以这么开局。

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