考研笔记

特征向量的判定与线性组合

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方法模板

这一节几乎全是选择填空,考的是同一件事的四种问法:给你几个特征向量,把它们加加减减、乘个常数、换个位置,问还是不是特征向量、能不能拼成 。

一张表定生死

设 ()。

组合是不是 的特征向量理由
()是,特征值还是 特征子空间对数乘封闭
( 任意)不一定, 时是零向量特征向量不许为零
()是,只要和不为零同一特征子空间内封闭
()一定不是见下面的定理
()不一定,可能是零向量除非已知 无关
之于 是,特征值 特征向量随多项式不动
之于 ()是,特征值 把两个特征值合并了

核心定理:不同特征值的特征向量,加起来永远不是特征向量

命题 设 ,,,则 不是 的特征向量。

证明(考场标准两行) 反设 。左边 ,移项得，不同特征值的特征向量线性无关,故 ,与 矛盾。

这条命题把"必是"型选项一击毙命

选择题里凡出现 且两者属不同特征值,直接判假,不必再算。反过来,同一特征值下的任意非零组合都是特征向量——因为特征子空间 是个子空间。

拼 的三条规矩

要让 , 必须满足:

  1. 每一列 是特征向量,对应特征值恰是 ;
  2. 列整体线性无关( 可逆);
  3. 顺序对齐: 的特征值必须摆在 的第 个位置上。

"换列"和"换对角元"必须同步

的两列对调, 上对应的两个对角元也要对调。选择题最爱在这里设陷阱:向量都对、无关也对,就是顺序错了一位。

同一特征值的几列可以随便重组

若 在 中连着出现 次,那 对应的这 列可以换成它们张成的空间里任何一组基——只要还是 个无关向量,结果都对。所以 从来不唯一。

必考

880 第十四章基础选择 6 ≡ 1000 基础篇第5章 1

原题 设 为 3 阶方阵, 的三个特征值为 , 分别为对应的三个特征向量,则( ).

A. 必为 的特征向量 B. 必为 的特征向量 C. 必为 的特征向量 D. 必为 的特征向量, 不是 的特征向量

同源题

1000 基础篇第5章第 1 题与本题完全同题,只是选项顺序为 A / / / 不是而 是,答案同样是 A。下面的分析对两题通用。

解析

答案 A。

总公式: 对任意 ,

,所以每一个 都是 的特征向量,对应特征值依次是 、、。A 正确。

逐项拆掉另外三个:

  • B(): 属 、 属 ,对 而言分别属 与 ,仍是不同特征值。由核心定理,和不是特征向量。假。
  • C(): 都属 的特征值 1,差落在同一个特征子空间里——但题目只说它们”分别为对应的特征向量”,没说线性无关。若 ,则 ,零向量不是特征向量。所以”必为”不成立。假。
  • D: 前半句对,后半句错。,特征值是 0,但 依然是特征向量。

本章第一号概念陷阱:特征值可以是 0,特征向量不可以是 0

选项 D 就是专门为混淆这两件事设的。判定” 是不是特征向量”只查两条: 是不是 的倍数、 是不是非零。倍数是几(包括 0)完全不影响结论。

反过来, 是特征值 不可逆——这是上一节反复用的翻译。

C 选项的"必"字值千金

如果题目改成” 线性无关”,那 C 就也对了(此时 且属同一特征子空间)。中文选择题里”必""一定""恒”这三个字,总是提示你去找退化的边界情形:零向量、、两向量相等。

880 第十四章综合选择 5

原题 设 阶矩阵 有特征值 ,对应的特征向量为 , 为任意常数,则下列选项中正确的是( ).

A. 必是 的特征向量 B. 必是 的特征向量 C. 必是 的特征向量 D. 必是 的特征向量

解析

答案 D。四个选项恰好把”表”里四种情形各摆了一个,是一道极好的自检题。

  • A: 是任意常数,取 得零向量。假。(若写""就真了。)
  • B、C: ,由核心定理, 都不是 的特征向量。假。
  • D: 关键在 把两个特征值合并了:

于是对 来说, 属于同一个特征值 1,而同一特征子空间对加法封闭:，还要确认非零: 线性无关 。真。

"平方把 粘在一起"是个可复用的结构

更一般地:若 ,则 对 属同一特征值,任意非零组合都是 的特征向量。上一节 1000 基础 18 里 导致 ,是这条规律做到极致的样子。

非零性这一步不能省

D 之所以成立,除了”同特征值”还需要”和不为零”。这里靠的是不同特征值的特征向量线性无关这条定理。若两个向量属同一特征值,和就可能为零(见上一题 C 选项),结论立刻塌。

1000 强化篇第7章 3

原题 设 是 3 阶矩阵,有特征值 ,对应的特征向量分别是 ,以下 为任意常数,则非齐次线性方程组 的通解是( ).

(A) 　(B) (C) 　(D)

解析

答案 D。这题把第13章的”通解 = 特解 + 齐次解”直接搬到特征向量语言里,是两章之间最短的一座桥。

齐次部分: 的解就是特征值 0 的特征子空间。 单重,且三个特征值互异 可对角化 该特征子空间恰好一维 基础解系是 一个向量,齐次通解 。

这一步已经排掉 A、B:它们带了两个任意常数,意味着 ,与 矛盾。

特解: 要找 使 。在 张成的平面里凑:设 ,则

故 ,通解 。选 D。

记住方向: 特征值在分母上

想让 ,就取 (要求 )。本题 ,所以 前面要配 。C 选项 恰好把两个系数都取反了——那是 ,不是要的右端。

顺带: 时 根本进不了右端,因为 的 必须落在列空间里,而 方向恰恰被 压没了。本题右端只用到 ,正是出题人在暗示这一点。

1000 强化篇第7章 4

原题 设 是 3 阶矩阵, 有通解 ( 为任意常数),,则存在可逆矩阵 ,使得 ,其中 是( ).

(A) 　(B) (C) 　(D)

解析

答案 C。按”拼 的三条规矩”逐项验。

先读题设: 通解是 ,说明 是特征值 的特征子空间的一组基(二维, 无关); 属特征值 。目标 ,所以 的前两列必须属特征值 0、第三列必须属特征值 1,且三列无关。

  • (A): 第三列 混了 与 ,不是特征向量。排除。
  • (B): 三列都是特征向量、也无关,但顺序是 ,给出的是 而不是 。顺序错,排除。
  • (C): 与 都是 的特征子空间里的非零向量 ✓;两者无关(由 无关,系数矩阵 可逆)✓; 属 ✓;顺序 ✓。正确。
  • (D): 第二列 又是跨特征值的组合,不是特征向量。排除。

三秒扫法

从后往前扫:先看每一列是不是”纯”的(只由同一个特征值的向量组合而成),混了就直接毙——A、D 都是这样死的。剩下的再对顺序,B 就是这样死的。真正需要验线性无关的,通常只剩一个选项。

同一特征子空间内可以随便换基

C 里把标准的 改成了 , 却分毫不变。这就是” 不唯一”的具体样子:二重特征值那两列可以在自己的平面里任意换基,单重特征值那列可以乘任意非零数。

1000 基础篇第5章 3

原题 已知 , 是矩阵 属于特征值 的特征向量, 是矩阵 属于特征值 的线性无关的特征向量,则矩阵 不可以是( ).

(A) 　(B) (C) 　(D)

解析

答案 D。上一题是”挑对的”,这题是”挑错的”,套路完全一样。

,所以 的第一列属 、后两列属 且无关。

  • (A): 仍属 ✓,三列无关 ✓。可以。
  • (B): 与 都在 的特征平面里;它们无关,因为系数行列式 ✓。可以。
  • (C): 交换位置,但它们对应的对角元都是 3,交换后 不变 ✓。可以。
  • (D): 第一列 跨了 与 ,不是特征向量。不可以。

二重特征值那两列"随便换",单重那列"只能缩放"

C 之所以合法,是因为交换的两列对应同一个对角元 3。如果换的是第一列和第二列( 与 ), 就得跟着变成 ,题目给的 就不对了。

判断”能不能换位置”,只看对角元是否相同,与向量本身无关。

1000 基础篇第5章 16

原题 已知 3 阶矩阵 有三个特征值 ,对应的特征向量分别是 ,取 ,则 ____.

解析

答案

只做两件事:

  1. 非零倍数完全不影响。 还是 的特征向量, 还是 的, 还是 的。系数 在结果里一点痕迹都不留。
  2. 对角元按 的列序排。 的列依次属 ,对角阵就照这个顺序写。

为什么系数会消失? 设 ,则 —— 常数在等式两边同时出现,自动约掉。写成矩阵形式:

填空题的两秒解法

把 的每一列”是谁的特征向量”读出来,把对应特征值抄成对角线。 系数、正负号、顺序里只有顺序有用。这条在考场上能省下整整一分钟。

拓展

1000 基础篇第5章 9

原题 已知 为 2 阶方阵,可逆矩阵 使得 ,,则 ____.

解析

答案

三步,每步只动一个东西:

  1. 读出谱。 属 , 属 ,。
  2. 换成 。 ,特征向量不变,特征值取 :
  1. 按 的列序排。 ,第一列 对 的特征值是 1,第二列 是 2,故对角阵为 。

一个漂亮的巧合值得注意

结果和 一模一样。原因:伴随把特征值 换成了 (顺序反了),而 又把两列顺序也反了一次——两次反转互相抵消。出题人特意让答案”看起来像没变”,就是要看你是不是真的两步都算了,还是抄了题干。

别忘了乘

常见错答是 ——那是把 当成了 。,少乘一个 就整体差一个倍数。

1000 基础篇第5章 22

原题 设 是 3 阶矩阵, 是 的三个不同的特征值,对应的特征向量分别是 ,令 . 证明:

(1) 不是 的特征向量; (2) 向量组 线性无关.

解析

先记牢前提: 三个不同特征值 线性无关(第12章结论),从而 是可逆矩阵。下面两问都靠它。

(1) 反证法。 设 ,即，移项:。由无关性,三个系数全为零,得 ,与”三个不同”矛盾。故 不是特征向量。

(2) 化成范德蒙德。 逐个算:

拼成矩阵等式:

是范德蒙德矩阵,(三个特征值互异); 可逆。故 可逆,三列线性无关。

这个 分解是本章的通用武器

凡是”把 摞在一起判无关”的题,一律写成 ,把问题交给范德蒙德行列式。 有 个不同特征值 存在 使 无关,而取 总是有效的。

这也是由基上的作用定特征值里 那一类题的理论背景:那种 之所以可逆,靠的就是这个结构。

880 第十四章综合解答 4

原题 设 有三个不同的特征值 ,它们对应的特征向量分别为 ,令 .

(Ⅰ) 证明: 线性无关; (Ⅱ) 若 ,求 .

解析

(Ⅰ) 与上题 (2) 逐字相同:, 为范德蒙德矩阵,,故线性无关。

(Ⅱ) 答案 。

第一步:把矩阵条件翻译成特征值条件。 由

两者相等,再用 无关逐项比对系数:

第二步:三个互异,只能全占。 集合 恰有三个元素,而 互不相同,故，第三步:平移后数非零。 三个不同特征值 ,于是，非零对角元两个,故 。

不要直接从 出发

题目给的是 —— 只对这一个向量 成立,不是矩阵恒等式 。但因为 是三个特征向量的和、而 无关,比对系数后恰好得到每个 都满足 ,这才反推出 (可对角化 + 每个特征值满足)。

顺序不能反:先逐分量比对,再回到矩阵。若 缺了某个 (比如 ),那第三个特征值就完全不受约束,结论立刻不成立。

与 (Ⅰ) 的呼应

(Ⅰ) 证的无关性,正是 (Ⅱ) 里” 把三个特征方向都用满了”的保证。出题人把两问放在一起,是在提示:能从 的一条信息推出整个 的谱,前提是 在每个特征方向上的分量都非零。

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