考研笔记

由谱反求二次型

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方法模板

一、总公式：谱分解

实对称 ，若知道全部特征值与各自的特征向量（两两正交），则

（ 单位化后就是 。）

二、只有两个不同特征值时的一行公式（本节主力）

设 的特征子空间由单个向量 张成，其余方向全属于 （重数 ），则

推导： 是实对称矩阵，不同特征值的特征子空间互相正交。这里只有两个不同特征值， 的特征子空间由 张成，故其余 维空间 就是 的特征子空间。

沿的分量垂直于的分量

对任意 作上述正交分解，左乘 后，两部分分别变为 倍、 倍：

对任意 都成立，所以两边对应的矩阵相等，即得到上面的公式。

这个公式的价值： 的特征向量一个都不用求

常规路线要解 ……但 正是待求的东西，根本解不了。实对称的特权在于只要知道 的方向， 的整个特征子空间自动是它的正交补，直接按上述正交分解就能写出 。

本章”由谱反求 “的题几乎全是这个结构：给一个特征向量 + 全部特征值。

三、条件的八种伪装（读题时先做这张翻译）

题面写的实际给的
、特征值 与特征向量
列（行）向量之间的线性关系 ：，特征向量
的重数是 （实对称时几何 = 代数重数）
（ 可逆）
的第 列已知它是 的单位特征向量（ 是标准形第 个系数）
的列全落在 的特征子空间里

四、伴随条件的标准处理

先用 或标准形把 算出来，再翻译伴随条件——顺序反了会卡住。

五、四步流程

  1. 凑齐全部特征值（用 、、、标准形系数）；
  2. 找出已知的那个特征向量（用上面的翻译表）；
  3. 用一行公式或谱分解写出 ；
  4. 若还要 ：解 得剩余特征子空间，施密特 + 单位化。

必考

880 第十五章基础解答 7

原题

设 是 3 阶实对称矩阵， 满足 ，且 ．

（I）求方程组 的通解； （II）求 ； （III）若 ，求方程 的全部解．

解析

先把两个条件翻译成谱信息：

特征向量 的重数是 谱

（I） 实对称， 的特征子空间 的特征子空间的正交补，即

任意

（II） 用一行公式（ 对应 ，）：

验证： ✓； ✓； ✓

（III）

与第问相同

为什么（I）（III）答案一样

谱是 ，全部非负 半正定

（半正定时 ，为零当且仅当 ，等价于 。）

若 不定（有正有负特征值），两个解集就完全不同： 是子空间， 是一张锥面。见 二次曲面的分类。

880 第十五章基础解答 6

原题

设 3 阶实对称矩阵 有二重特征值 1，且 ， 是 的伴随矩阵．

（I）求正交变换 将二次型 化为标准形； （II）求方程组 的通解．

解析

关键翻译：列向量的线性关系就是 。

于是 是特征值，特征向量 。加上题设”二重特征值 1”：谱，（I） 的特征子空间 ：，基础解系 。二者不正交（内积 ），施密特：

（II） 与 共用特征向量，特征值为 ：

的 的

所以 的解空间正是 的特征子空间，也就是 的 的特征子空间：

任意

（也可以不用施密特后的向量，原始基础解系即可——求通解不需要正交化。）

奇异时求 的谱，只能用乘积式

在这里会得到 。乘积式对可逆与奇异一律适用，还顺带给出秩：

的解空间是维

与上面数出的两个基础解系向量一致。

" 的列向量有一个线性关系"是本章最爱用的伪装

它同时给出三件事：、对应的特征向量、以及 。看到 就立刻把系数抄成列向量，这是全题的入口。

880 第十五章综合解答 2

原题

设 3 阶实对称矩阵 有特征值 ，且 ， 是方程组 的解向量．求：

（I）矩阵 ； （II）正交变换 ，将二次型 化为标准形．

解析

第 1 步：凑齐谱。

谱

第 2 步：翻译伴随条件。 且 ：

是 的特征向量，。

第 3 步：一行公式（ 对应 ， 是二重）：

验证： ✓； ✓

（II） 的特征子空间 ：，基础解系 ——恰好已经正交，免去施密特。

一行公式让"求 "不必先求

常规做法是先求出三个特征向量拼 ，再算 （两次矩阵乘法）。一行公式跳过这一切： 只用到已知的那个 。

而且系数 与 恰好约掉，式子干净成 ——这类”恰好约掉”在考研题里是常态，出题人会挑好数字。

880 第十五章综合解答 8（第 I 问）

原题

设二次型 经过正交变换 化为标准形 ，又 ，其中 ， 是 的伴随矩阵．

（I）求正交矩阵 及实对称矩阵 ； （II）若正定矩阵 满足 ，求 ．

解析（第 I 问；第 II 问见 正定平方根与矩阵分解）

标准形系数即特征值：谱，翻译伴随条件（）：，即 是 的特征向量，。

一行公式（ 对应 ， 二重）：

验证： ✓； ✓

求 ： 的特征子空间 ：，基础解系 ，施密特：

按标准形顺序 ：

先算 ，再翻译伴随条件

若一上来就写 却不知道 ， 这一步就落不了地。标准形（或 加其他条件）先把谱定死， 是谱的乘积，然后伴随条件才可翻译。

本题的顺序：标准形 谱 一行公式。任何一步提前都会卡住。

1000 基础第 6 章 24

原题

二次型 通过正交变换化成 ，方程组 有解 ，求正交变换及二次型矩阵 ．

解析

标准形只有两项 第三个系数是 0：谱， 有解 ，而 的特征子空间维数 ，故它恰好由 张成。。

一行公式（ 对应 ， 二重）：

验证： ✓； ✓

求正交变换： 的特征子空间 ：，基础解系 ——已正交。

"标准形少写了一项"= 那个特征值是 0

题目写 （只有两项）时，第三个系数不是”没有”，而是 。同样地 、” 有非零解”、""都在说同一件事。

顺带确认重数： 是单重，所以题目给的那一个 就是全部——若 ， 是二重，只给一个 就不够了。

1000 强化第 9 章 10

原题

设二次型 ，且 ，，其中 ．

（1）用正交变换化二次型为标准形，并求所作的正交变换； （2）求该二次型； （3） 表示什么曲面？

解析

第 1 步： 给出秩与零空间。

的三列：，故 。，而 说明 ，故 。

谱二重，由由

第 2 步：定出 的方向。 的特征子空间是 2 维的，且包含 的列空间（也是 2 维），两者相等：

实对称 的特征向量 与这两个都正交：

第 3 步：一行公式。

验证： ✓；、、 ✓

（1） 的两个向量 与 已正交（内积 ），直接单位化：

（2）

展开即

（3） 即 ，：

两张平行平面

秩 1 的二次型 是两张平行平面，不是柱面

分类表里 那一行：只有一个非零特征值时， 化成 ，解出 ——两个常数，两张平面。

柱面要求秩恰为 2。本题秩 1，比柱面还退化一级。见 二次曲面的分类。

的两条读法要同时用

  1. 秩：，卡住 的上界；
  2. 零空间： 的每一列都是 的解。

第 1 条给重数，第 2 条给具体方向，缺一不可。见 第11章 秩的基本性质与 AB=O。

880 第十五章拓展选择

原题

设 3 阶实矩阵 的特征向量为 ，则 必为（　）.

A. 可逆矩阵　　B. 正交矩阵　　C. 对称矩阵　　D. 正定矩阵

解析

先检验这三个向量的关系：

两两正交！ 单位化后拼成正交矩阵 ，且，其中 是（实）特征值构成的对角阵。于是

必为对称矩阵，选 C。

逐项排除其余（特征值完全未知是关键）：

选项反例
A 可逆取 ， 奇异
B 正交正交要求全部 ；取 即不满足
D 正定取 即不满足

"有 个两两正交的特征向量" 实对称

这是谱定理的逆命题，本题正是考它：

实对称正交阵使为实对角阵有个两两正交的实特征向量

做题动作：给出一组特征向量时，先算两两内积。全为零就说明 实对称；不全为零则 一定不实对称（实对称阵不同特征值的特征向量必正交）。

而特征值一个都没给，所以任何依赖特征值取值的性质（可逆、正交、正定）都推不出来。这三项恰好构成一组干扰。

拓展

880 第十五章综合解答 3

原题

设 阶实对称矩阵 只有两个不同的特征值 和 ，且 属于 的特征向量仅有 ．

（I）求矩阵 ； （II）当 满足什么条件时， 是正定矩阵．

解析

（I） “属于 的特征向量仅有 “说明 的特征子空间是一维的，由张成。 实对称、只有两个不同特征值 的特征子空间是 ，维数 。

一行公式：， 是 阶矩阵，只有四个角为 1：

写开：

即：，，中间对角元全是 ，其余为 0。

验证：，与谱 之和一致 ✓ 再验 ：第 1 与第 分量都是 ，中间分量都是 0，故 ✓

（II） 正定 全部特征值为正 （自动成立）且 。又题设两个特征值不同，故

且

"特征向量仅有 "必须读成"几何重数 = 1"

若漏掉这个”仅”字，就无法断定 的重数是 ， 也就定不下来。

反过来，正因为实对称阵的几何重数 = 代数重数，” 几何重数 1” ” 代数重数 1” ” 代数重数 “。这条链子在非对称矩阵上是断的。

阶抽象题，一行公式的优势最大

具体的 3 阶题还可以硬解方程组， 阶就只能靠 。

写答案时不必把矩阵完全展开——说清”四个角是什么、中间对角线是什么、其余为 0”同样得分，而且不容易抄错。

880 第十五章拓展解答 2

原题

设 为 3 阶实对称矩阵，二次型 在正交变换 下的标准形为 ，其中 的第 1 列为 ，且 ．求：

（I） 的值； （II）正交矩阵 ．

解析

（I） 标准形系数即特征值：。

（II） 谱为 。

读懂” 的第 1 列”： 意味着 的第 列是第 个特征值的单位特征向量。所以对应， 是二重，其特征子空间 ：，基础解系 ，内积为 1，需施密特：

（答案不唯一：后两列可以取 特征子空间的任何一组标准正交基，也可以整列取反。）

" 的第 列已知"= 白送一个特征向量

这是本章最省事的条件之一。注意对应关系是按位置的：第 1 列 标准形第 1 个系数。若题目说的是” 的第 2 列为……”，那它对应的就是 。

本题给的 对应 ，不是对应最大的那个特征值——不要凭直觉配对。

本题只问 ，没问

若要 ，一行公式立刻给出（ 对应 ，，）：

核对： ✓，： 的谱是 与 ，乘积 ✓

880 第十五章拓展解答 3（第 I 问）

原题

设二次型 经正交变换 化为 ，其中 ．求：

（I） 的值及矩阵 ； （II）可逆矩阵 ，使得 ．

解析（第 I 问；第 II 问见 正定平方根与矩阵分解）

关键：条件全在” 是正交矩阵”这五个字里——三列两两正交且都是单位向量。

的三列分别是

单位长度：

两列正交（ 与另两列已自动正交，只剩一条）：

求 ：标准形是 ，即，对应 的三列：，，。

谱分解（ 的那项直接丢掉）：

验证： ✓；第 1、3 行互为相反数 恰一个零特征值 ✓； ✓

" 是正交矩阵"是一组隐藏的方程

阶正交阵有 个独立约束（ 个单位化 + 个正交）。本题 3 阶，共 6 个方程，用来定 3 个参数绰绰有余——所以一定会有多余的方程可以拿来验算。

做题时先挑最简单的那个方程（这里是 ，只含 ），逐个击破；符号不定的（）留给正交性条件去定。

别把 和 当成特征值之外的东西

标准形写的是 ，代入 后是 。 项缺失意味着 ，这个”看不见的 0”是求 时最容易漏掉的一项（漏了会得到秩 3 的错误矩阵）。

1000 强化第 9 章 13

原题

设 的二次型矩阵的迹为 3，其中

（1）求 的值，并求正交矩阵 ，将 化为标准形； （2）求一个实对称矩阵 ，使 ．

解析

先认结构。 二次型矩阵，而且题目给的 有两个好性质：

都是单位向量，而且互相正交——所以 与 恰是两个互相正交的一维投影阵，上式本身就是谱分解。

（1） 用迹定 ：

于是 ，直接读出谱：

对任何

第三个方向：取 。用未归一化的 与 ：

（2） 实对称 ，所以要求，即求 的实对称平方根。 的谱是 ，全非负，取正平方根 ，用谱分解逐项开方：

验证： 单位正交 、、，故

一旦成形，开方、求幂、求逆全是"对系数动手"

当 两两正交且单位时，投影阵满足 、，于是

本题的题干直接把 写成了谱分解的样子—— 就是 ，只要验证 且都是单位向量，谱就白送了。动手前先算这两个内积，能省掉整个特征值计算。

这里的 与""里的 不是一回事

题目要求 实对称，所以 ，问题变成求平方根（唯一，需谱分解）。 若只要求 可逆，配方法给出的三角阵就够了，而且答案有无穷多个——但本题 奇异，任何满足 的 都不可逆，配方法只能给出一个降秩的 。见 正定平方根与矩阵分解 里的对照表。

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