考研笔记

矩阵的秩:基本公式与 型降秩

🏠 第11章概念导航 · 矩阵题库

方法模板

必背公式

是是 的直接推论

可逆时 ;实矩阵有 。

的三层含义(考试几乎只考这三层)

  1. 秩的约束:。
  2. 列的含义: 的每一列都是 的解,即 的列空间 的零空间。
  3. 可逆性: 可逆 。反过来 强制 。

由此得到**“求参数”的标准套路**:题目给 、、,要定参数 —— ① 由 (或 )解出候选 ;② 对每个候选分别算秩,看哪个能把另一个矩阵的秩唯一确定。 答案永远落在使已知矩阵秩最大的那个候选上(秩越大,留给对方的空间越窄)。

伴随秩三段式

反读同样要熟:。

幂等阵的秩恒等式，由两个不等式夹出: 给 ; 给 。这个”两边夹”要会迁移: 给出 。

必考

1000题强化篇第4章 1

原题

设 是 3 阶非零矩阵,满足 ,且 ,则必有（ ）。

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

幂等恒等式给 。约束:;。于是只有两种可能或，逐项检验:A、B 各自只覆盖一种情形,不是”必有”;C 在 时得 ✗;D 在两种情形下都得 ✓。

选项设计意图:把”两种可能取并”翻译成一个乘积等于零的式子。看到 形式的选项,就是在问”两种情形是否都被覆盖”,必须两种都代。

1000题强化篇第4章 2

原题

若 都是 阶非零矩阵,且 是 的伴随矩阵,,则 （ ）。

A. 1　　B. 　　C. 　　D. 或

解析

把每个条件翻译成一条秩不等式,再夹:

  • 且 不可逆 ;
  • (秩三段式反读)。

故 。再用秩约束:，而 。

三个”非零”一个都不多余: 卡住 的下界, 卡住 的下界,缺一就夹不出唯一值。

880 第11章综合选择 1

原题

设 , 是 3 阶非零矩阵,且 ,则（ ）。

A. 时 　　B. 时 　　C. 时 　　D. 时

解析

第一步:,解候选 。

故 或 。

第二步:分别算 ,看谁能唯一确定 。

  • :,三行相同, ,加 得 —— 不唯一,排除 A、C。
  • :,、,故 ,加 得 —— 唯一。

1000题基础篇第2章 14

原题

设 是 3 阶矩阵, 非零,,,则（ ）。

A. 时必有 　　B. 时必有 　　C. 时必有 　　D. 时必有

解析

且 不可逆 。

  • :,三行都是 的倍数, ,不唯一。
  • :,、,故 ,加 得 。

1000题基础篇第2章 15

原题

设 均是 3 阶方阵,满足 ,其中 ,,则必有（ ）。

A. 时 　　B. 时 　　C. 时 　　D. 时

解析

(只有第 2 行非零)。，: 可逆,,右乘可逆矩阵不改变秩,选项成立，:(),只能得到，即 ,不唯一,A、B 均不成立。

与上一题正好互补

上一题是” 越满秩, 被压得越死”;本题是” 可逆时 被 完全决定”。可逆时用 ,不可逆时用 Sylvester 上下夹,两种都要练。

1000题强化篇第4章 3

原题

设矩阵 ,,则常数 （ ）。

A. 3　　B. 4　　C. 5　　D. 6

解析

记 ,。

先定 :第 1、2 行完全相同故 ;而 与 前两个分量比值不同( 与 ),不成比例,所以 ,与 无关。

再算 :

(第 3 行 ,前两项抵消,只剩 )。

要 ,须第 3 行与第 1 行成比例:设 ,前两个分量给 、,相加得 ,故 、。

背后的结构: ,即 在特征值 处有长度 的 Jordan 链,也就是 是 的重特征值且几何重数小于代数重数。第 14 章会正式讲,现在只需记住” 是不可对角化的信号”。

拓展

880 第11章综合选择 2

原题

设 ( 均不为 ),且 ,则必有（ ）。

A. 　　B. 或 　　C. 　　D. 且

解析

。由第 10 章的结构行列式公式(主对角 、其余 ):， 给两个候选,逐个验:

  • :三行全同, ✗
  • (即 ):三行之和为零故 ;二阶子式 ,故 ✓

跨章提示: 直接取自 结构型数值行列式的计算 的第一条模板。第 10 章的结论在第 11 章是当已知条件用的,不熟就得现推。

1000题基础篇第2章 19

原题

设 是 4 阶矩阵,满足 ,则 ____。

解析

给 ,即，代入伴随秩三段式的第三段:

即

本身可以是零矩阵、秩 1 或秩 2,但无论哪种都够不到 。""要单独记,它是 秩约束在 时的特例。

链接

反向链接