考研笔记

矩阵运算的陷阱

🏠 第11章概念导航

按”出错代价 × 出现频率”排序。每条给判据和自查动作。

一、约掉不可逆的公因子(最高频、代价最大)

症状:由 直接写 。

判据:矩阵没有消去律。 仅当 可逆(或列满秩)。反例:。

自查:凡是要约掉一个矩阵,先算它的行列式并写出”因 “这句话。这是解答题的踩分点,不是废话。

→ 该题

二、看到 就写

判据:系数矩阵可能奇异。 时必须退回线性方程组,对 做初等行变换, 有几列就同时处理几列。

结果形态:解要么不存在(增广矩阵秩更大),要么是含自由参数的一族,答案必须带任意常数。

自查:第三步永远先算 。

→ 该题专门用来罚这个

三、、、 的指数

三条一起记( 阶):，判据:行列式提标量按列数 ;伴随提标量按 (每个代数余子式是 阶行列式)。

自查:每次把标量提到行列式外面,先默念阶数。三阶题里少提两次 是最常见的形式。

→ 该题的三个错项全是”少剥一层”

四、乘积与转置、求逆的顺序反转

三个都反转。 写成 只在 可交换时才碰巧对。

自查: 时可以循环轮换得 ,但不能任意重排—— 一般不等于 。

五、幂零矩阵的 凭想象

症状: 求 时, 不是标准位移矩阵却按”再错一位”写 。

判据: 的 是 , 元来自 而非 。

自查: 必须落笔算。这是矩阵幂题型最高频的计算错误。

→ 该题

六、 没命中就转去对角化

判据:矩阵幂的判断顺序是”秩 1 → → → 减主对角看幂零 → 周期 → 对角化”。中间的 和”减主对角”两步最常被跳过。

代价:880 综合解答 1 的特征值是 ,对角化要处理无理数;而 三行写完。

→ 该题

七、秩 1 幂公式的指数

指数是 不是 。

自查:代 回去,右边应还原成 本身。一秒钟。

八、由 直接凑特征值重数

判据: 只说明特征值属于 ,给的是候选集,不是重数。

补重数的三个来源:秩(需可对角化)、迹、行列式。例如 且 时, 的重数恰是 。

自查:写完”特征值只能是 或 “后,问自己”各几个?凭什么?”。答不上来就还缺条件。

九、初等矩阵:行列不分、顺序倒置

三条判据:

  1. 左乘换行,右乘换列——动的是行还是列,决定乘在哪边。
  2. 倍加型:行变换的 落在 ;列变换落在 ,下标反过来。
  3. 复合顺序:先做的贴 最近,不是最外层。

通用自查:不要背下标——把变换施加到 上,得到什么就是什么,再回头认它是 还是 。

→ 该题的陷阱正是题目给 $P$ 而实际需要 $P^{\mathrm T}$

十、分块三角当成分块对角

判据:

只是下界等号

要”恰好等于”必须先化成分块对角。 选择题常靠这一点区分选项。

同类:反对角分块矩阵求逆要交叉,;求行列式要带 。

→ 该题

十一、“两个不可逆相加还是不可逆”

反例:。

判据:秩不满足加法。 只是上界,两个秩 的矩阵完全可以加出秩 。

对照:“两个不可逆相乘必不可逆”是真的()。加法假、乘法真,别记混。

→ 该题

十二、由 断言

反例:任何非零反对称阵,如 。

判据: 是标量,等于自身转置 。若 ,二者互为相反数,只能都是零。二次型只能看见矩阵的对称部分。

正确版本: 对称时,。

记忆挂钩:这正是第 15 章只讨论对称矩阵的根本原因。

→ 该题

十三、忘记写”实矩阵”

判据: 依赖 ,只对实数成立。复数反例:。

同理 也是实矩阵专属。

自查:证明里出现这一步时,把”因 为实数”明确写出来。题干专门写”实矩阵”就是在等这句话。

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