伴随与分块矩阵的逆:统一成

核心问题

第 10 章求的是这些对象的行列式;这里要求出矩阵本身——、、分块矩阵的逆与伴随长什么样。方法只有一条:把所有换成 ,让式子塌缩。

源头:。这条对不可逆矩阵也成立,是比适用面更广的原因。

派生结论( 阶,)

顺 序 反 转 同 逆 矩 阵

全部可以从一行推出,推比背可靠。例如，求的两条等价写法

已知求时,直接对取伴随最省事(代数余子式矩阵转置),连除法都免了。

秩三段式

分块矩阵的逆

反对角块的逆要”交叉”回来——这是最容易写错的一处,验证一下就放心:。

分块上、下三角的逆（可逆，尺寸相容，不要求可逆）：

另外两种零块位置：

负号不能漏，乘法顺序不能换。 上三角式的右上块由解出，所以是。完整推导见分块矩阵求逆的四种形式与推导。

分块矩阵的伴随在矩阵可逆时走：先求行列式，再乘逆矩阵。若分别为阶，反对角的行列式符号为；下面的反对角伴随公式按同为阶写，此时符号简化为。两个常用结果：

系数交叉不是笔误: 被均摊到两块上,而每块自己的行列式又被的换算吃掉一个。

说明:伴随逆体积缩放因子。

逆矩阵把第个方向按压回去,分母上的小数会”炸”;乘上恰好把分母清干净—— 的第个特征值是，是个多项式而非分式。这就是伴随对奇异矩阵仍有定义的原因:它是把逆矩阵”通分”之后的产物。

秩三段式也随之透明: 时恰有一个 ,那么只有这一个非零,故 ;掉两个及以上时每个乘积都含零因子,。