考研笔记

已知基上的作用 = 已知矩阵()

🏠 第14章概念导航

核心问题

题目不给 的元素,只给一串右端都是 的线性组合。这样的信息够不够确定 ?够的话怎么把它变成能算的东西?

答案:只要 线性无关,信息就是完备的 —— 它把 钉死到相似意义下的具体矩阵。

核心定义 / 定理 / 结论

打包公式

设 线性无关,(可逆)。把 个等式并排:

于是 ,而 是一个具体的数字矩阵。

写 的唯一规矩

的第 列 = 在基 下的坐标,竖着写。

例: 的第 2 列是 。

自检: 把 的第 列展开成 ,看是否等于题给的 。

"竖着写成列",不是"横着写成行"

这是本主题唯一的高频错误。错了之后得到的是 ,迹和行列式碰巧仍对,但特征向量全错。

三个标准问法

问什么动作
的特征值 / / / / 全在 上算,不必回到
能否对角化查 的几何重数
求 使 两段接力:

接力公式的推导(自己能推就不会记反):，原来的基矩阵在左,新求的在右。 若 是抽象向量,就把 的列写成组合形式,如 。

友矩阵:题目自己造基的情形

若 可逆,则，前 列自动是 的后 列,只有最后一列需要递推关系来填。于是(三阶为例)

递推关系就是特征方程

把 换成 、把 划掉,得到的就是 的特征多项式。所以这类题连 都可以不写,直接解那个多项式。

(依据: 无关 该多项式是 的最小多项式,次数已达 ,与特征多项式重合。)

对应原题

880 第十四章综合填空 1（同源：1000 题强化篇第8章第 16 题）：已知 可逆，且 ，求 。这道题完整演示了“递推关系 友矩阵 特征多项式”的过程。

几种常见结构的谱

题面 的形状谱
,特征向量
,特征向量
(各自独立)对角
Jordan 块( 重,几何重数 1)
打乱重排置换型按轮换分解

、、 一并解决

之后,任何由 生成的矩阵都可以在 上算:

与 能否对角化完全无关 —— 是 Jordan 形也照样成立。

典型题型

  1. 打包求谱:写 ,算 。
  2. 求 :它是特征多项式的中间系数 ,在 上读。
  3. 两段接力求 与 :答案写成 的组合。
  4. 友矩阵: 型,把递推系数抄进最后一列。
  5. 、 型:每个 给一个特征子空间维数下界,夹逼定谱。
  6. ” 不是特征向量”:翻译成 无关,用它构造 。

图示 / 直觉

就是” 在基 下的矩阵” —— 第12章过渡矩阵那一套的直接应用。新基坐标标准坐标读法: 表示”先把新基坐标翻成标准坐标,做变换 ,再翻回新基坐标”。动作没变,只是换了一套记账语言。

于是这类题的本质是:出题人不给你标准基下的账本(),只给你另一套基下的账本()。 而所有相似不变量在两套账本下完全一样,所以想问的东西一个都不缺。

常见误用

  1. 的行列写反 —— 得到 。
  2. 忘了先确认 无关(或 可逆) —— 没有这一条, 推不出相似。有些题把它单独设成第 (Ⅰ) 问。
  3. 两段接力的顺序写成 —— 应是 。
  4. 问 时答成 —— 若 不是特征向量矩阵, 就是 ,不是对角阵。见 880 综合解答 7。
  5. 抄递推系数时不按基的顺序重排 —— 的坐标是 ,按 排,不按书写顺序。
  6. 想去把 的元素解出来 —— 抽象 下根本解不出,也不需要。

与旧知识的连接

题型训练

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