考研笔记

Jordan 链与广义特征向量

🏠 第14章概念导航

核心问题

当特征向量不够用时,对角化失败。那么”最接近对角”的形状是什么?那些缺失的方向去哪了?

答案:它们变成了链 —— 每个特征向量后面挂一串”广义特征向量”,被 一格一格往回推,最后推到零。

核心定义 / 定理 / 结论

何时走到这里

考研大纲不要求 Jordan 标准形,但每年都有题在事实上考它。三个信号:

  1. 题目明说”只有一个线性无关的特征向量”或”几何重数 代数重数”;
  2. 目标矩阵是 这种”对角线相同 + 上次对角线全 1”的形状;
  3. 抽象条件形如 —— 一条链。

链的定义

记 。长度 的 Jordan 链是一串向量

是真正的特征向量; 称为广义特征向量。等价刻画:,且 而 。

把 拼起来:

的两个必背事实

① 几何重数恒为 1:，一个 Jordan 块只配一个特征向量。

② 求幂: ,,二项式只留前 项:

三阶单一特征值的完整分类(考研够用)

设 的特征值全是 (三重),:

几何重数相似标准形直观
03纯缩放
12一条长度 2 的链 + 一个独立方向
21一条长度 3 的链

所以三阶单一特征值时,秩是完整的相似不变量 —— 这就是”只比 就能判相似”的依据。四阶起会出现秩相同而相似类不同的情形( 与 ),但超出考研范围。

求 的固定动作: 逐列展开

不可对角化时 失效(没有共同的 )。唯一通法:

每一步是一个非齐次方程组,右端用上一步的结果。

实操:每一步取自由变量为 0

不同取法只差前面某个 的倍数,得到的 都合法。几何重数为 1 时相容性自动成立(链一定存在),不必担心中途无解。

证”链上的向量线性无关”的标准套路

设 ,从最高次的 开始逐次左乘:

每乘一次 ,多确定一个系数。

先画箭头图再决定乘几次

有的题把链写成"",此时 在链尾而不是链首,要从 开始乘、先杀出 。方向记反就全乱。

相关的常见结构

结构说明
而 特征值全为 ,不可对角化
且 秩 1 幂零,链长 2
而 无关,链长
阶幂零块,

不可对角化也不影响”转移”技术

之后,

相似变换对多项式、逆、伴随一律有效,与能否对角化无关 —— 只是标准形从 换成了 。

典型题型

  1. “只有一个无关特征向量”求参数: 定 , 或 定参数,再回头验 。
  2. 判”是否存在 使 “:比谱 + 比 。
  3. 求 :逐列解链。
  4. 抽象链证无关 + 求三角形 :逐次左乘 。
  5. (链结构下):先写 ,再取逆乘 。
  6. 不可对角化矩阵求 :,用二项式算 。

图示 / 直觉

对角化 = 变换在每根轴上独立缩放,轴之间互不干扰。

Jordan 块 = 缩放之外还有一份剪切:

把拖到上

几何画面:每一层都被下一层拖着走。 被拖成 , 被拖成 , 被拖成 0。只有链底的 方向纯粹缩放(它是唯一的真特征向量),上面几层都”沾了下面一层的味道”。

这解释了两件事:

  • 为什么一个块只配一个特征向量 —— 只有链底不被拖;
  • 为什么求幂只留有限项 —— 拖 次就拖到零了()。

完整动画与叙述见 Jordan 块的几何直觉:剪切链与逐层拖拽。

常见误用

  1. 链的方向记反 —— (往低位推),不是 。
  2. 不可对角化时仍用 —— 没有共同的 ,必须逐列解。
  3. “三重特征值 不可对角化” —— 还要看秩; 时就是 。
  4. 含参题定完参数不回头验秩 —— “特征多项式对”不保证”几何重数对”。
  5. 由 推 —— 幂零不等于零。
  6. 证无关时从 开始乘 —— 杀不干净,系数出不来。
  7. 用”非零特征值个数 = 秩” —— 幂零阵特征值全 0 但秩可以是 。

与旧知识的连接

题型训练

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