例3.6：零空间链上的向量线性无关

原题

设是阶矩阵，若存在正整数，使线性方程组有解向量，且，证明向量组线性无关。

题设表示经过连续作用次才被压成零：

而说明这条链没有提前断。

假设它们线性相关，则存在不全为零的，使得，取最小下标，使。于是，两边左乘：，因为，所以所有次数的项都为零，只剩，又，所以，与矛盾。

因此

线 性 无 关

这题的关键不是“最长项”而是“最早出现的非零系数”。抓住后，左乘会把后面的项全部推到零，只留下无法抵消的。

这题本质上是 Jordan 链的独立性。只要一条链没有提前断，链上每一层都是一个新的独立方向；否则“最早非零层”会在继续推进后单独暴露出来，无法被抵消。