考研笔记

不可对角化与 Jordan 链

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方法模板

什么时候会走到这一节

考研大纲不要求 Jordan 标准形,但每年都有题在事实上考它,信号有三个:

  1. 题目明说”只有一个线性无关的特征向量”或”几何重数 代数重数”;
  2. 目标矩阵 是 这种”对角线相同 + 上次对角线全 1”的形状;
  3. 抽象条件形如 —— 一条链。

链的语言

记 。所谓长度 的 Jordan 链是一串向量

等价写法:,且 而 。

把 拼起来,就有

的两个必背事实

  • ,几何重数恒为 1 —— 一个 Jordan 块只配一个特征向量;
  • 求幂:,,二项式只留前 项:

三阶单一特征值的完整分类(考研够用)

设 的特征值全是 (三重),则由 完全决定相似类:

几何重数相似标准形直观
03纯缩放
12一条长度 2 的链 + 一个独立方向
21一条长度 3 的链

这就是 880 综合选择 4 能"只比秩就判相似"的理由

三阶单一特征值时,秩是完整的不变量。四阶起会出现”秩相同但相似类不同”的情形( 与 的 都是 2),但那超出考研范围。

求 的固定动作: 逐列展开

不可对角化时, 那条路失效(没有共同的 ),唯一通法是把 按列写开,一列一列往下解:

每一步都是一个非齐次方程组,右端用上一步的结果。

每一步的相容性是自动的,但要会说明

解 时,若发现方程组无解,那说明 选错了(它不在 的像空间里)。几何重数为 1 时不会出这个问题——零空间是一维的, 只有倍数的自由,而链一定存在。

实操提示:每一步取自由变量为 0 来定 ,最省事;不同的取法只差一个前面 的倍数,得到的 都合法。

证”链上的向量线性无关”的标准套路

设 。从最高次的 开始逐次左乘:

方向别搞反:先杀掉高次项,从后往前剥

把链往低位推, 会把除最高位外的所有项打成 0,只剩 。每乘一次 ,就多确定一个系数。 这就是例3.6:零空间链上的向量线性无关里的手法。

必考

1000 强化篇第8章 18

原题 设 ,且 的所有特征向量中只有一个线性无关的特征向量,.

(1) 求 的值. (2) 是否存在可逆矩阵 ,使 ?若存在,求出矩阵 ;若不存在,说明理由.

解析

(1) 答案 。

“只有一个线性无关的特征向量” 三重特征值 + 几何重数 1。 由迹,，特征多项式必须是 ,故三个系数都被钉死:，用 解 :得 。

用 复核: 三个二阶主子式

和为 ✓。

最后验几何重数:

第 1 行 第 3 行,而第 2、3 行不成比例,故 ,几何重数 ✓,与题设吻合。

(2) 存在,

存在性: ,而 的特征值三重为 2、 —— 由三阶分类表, 的相似标准形正是 ,故存在 。

求 : 记 ,由 逐列比对( 的三列是 ):，第一步:。 由第 2 行减第 3 行得 ;代回第 3 行 。取 :，(验第 1 行: ✓)

第二步:。 同样由”第 2 行 第 3 行”得 ;第 3 行给 。取 :，(验第 1 行: ✓ 相容)

第三步:。 “第 2 行 第 3 行”给 ;第 3 行给 。取 :，(验第 1 行: ✓)

验算 (逐列):

  • ✓
  • ; 第 2 列 ✓
  • ; 第 3 列 ✓

, 可逆。

三个系数 里,选最好算的那个解参数

本题 不含 (用来定 ), 和 都含 。 是一个三阶行列式、 是三个二阶行列式,算哪个都行,但两个都算就自带验算 —— 本题两条路都给 ,答案就锁死了。

第 (1) 问只用"迹 + 特征多项式"是不够的

必须回头验 。因为”三重特征值 2”只保证特征多项式对,不保证几何重数是 1;若算出 ,那 就该相似于 ,与题设”只有一个无关特征向量”矛盾,说明 取错了。

本题恰好 时 ,但这个验证步骤不能省。

1000 强化篇第8章 5

原题 设 3 阶矩阵 ,其中 分别是 3 阶矩阵 对应于特征值 与 的特征向量,且 。

(1) 证明 可逆; (2) 计算 .

解析

(1) 题设即，注意 构成一条长度 2 的链( 处), 是广义特征向量。

设 。左乘 (它把链往下推一格):

得， 属不同特征值,线性无关,故 、。代回原式得 ,而 ,故 。

三向量线性无关, 可逆。

(2) 答案

第一步:先求 。 由 ,逐列写坐标:

(第 3 列 来自 。)

第二步:。 相似保行列式,，第三步:把 换成 。

第四步:求 。 ,两块各自求逆:

不可对角化,但 照样能算

本题的 有特征值 而 只配一个特征向量(),不可对角化。但整套”转移”技术完全不受影响: 之后, 的任何多项式/逆/伴随都可以在 上算。

口诀:相似变换对 、、 一律有效,与能不能对角化无关。 只是这里的”标准形”是 而不是 。

,别把 写反

展开验证: …… 更清楚地:

相似变换与求逆可以交换顺序,这是本题第三步的全部依据。

(1) 问的证法是本节的模板

用 逐次左乘、把链”打掉一格”,系数就一个个掉出来。这里链只有长度 2,所以乘一次就够;下一题的链长 3,要乘两次。

880 第十四章综合解答 3

原题 设 是 3 阶矩阵, 是 3 维列向量,且 ,,,.

(Ⅰ) 证明: 是 的一组基; (Ⅱ) 若 线性相关,求 及 .

解析

这是一条完整的长度 3 的 Jordan 链:记 ,则，(Ⅰ) 只需证线性无关(3 个无关的 3 维向量自动构成基)。

设 。先算 的各次作用:

左乘 : 只剩最高位,，再左乘 : 此时式子是 ,，最后: 。三向量无关,构成 的基。

(Ⅱ) 答案 ,。

第一步:打包成 。 令 (由 (Ⅰ) 可逆),

故 。

第二步:把”相关”翻译成秩条件。，而 可逆,故 。三个向量线性相关 。

第三步:。

第四步:代回。 时

相似保秩、保迹,故，

时 就是幂零阵

满足 而 ,所以 、。这与例2.3:Jordan 剪切链求矩阵幂里的 是同一个矩阵。

几何图像: 把 送到 、 送到 、 送到 0 —— 一条”逐层拖拽”的传送带,走三步全部归零。 正是因为像空间是 。

(Ⅱ) 的关键翻译:" 相关" = ""

因为 而 可逆,左右乘可逆阵不改秩(第11章结论)。很多人会直接去讨论 之间的关系,那是弯路 —— 已经由 (Ⅰ) 保证无关了,相关性只可能来自 自己降秩。

880 第十四章综合解答 2

原题 设 是 阶矩阵, 是 维列向量,且 ,.

(Ⅰ) 证明: 线性无关; (Ⅱ) 求可逆矩阵 及三角矩阵 ,使得 .

解析

注意这题的链是”反着”写的: 在链的顶端, 在底端。 用 本身(不用 ,因为 )反复作用:

(Ⅰ) 设

即

左乘 : 由 ,除第一项外全部归零,，再左乘 : 剩下的式子最低次是 ,乘完只剩，依次左乘 ,逐个得到 。故线性无关。

(Ⅱ) 答案:取 (由 (Ⅰ) 可逆),则

下次对角线全为其余全

推导: 逐列写坐标。

第 列()是 ,坐标是第 个位置为 1 的单位向量;第 列是零向量。把这些坐标竖着排成 ,即得上式。 是严格下三角矩阵,符合”三角矩阵”的要求。

想要上三角?把 的列倒过来即可

取 ,则

—— 标准的 阶幂零 Jordan 块。题目只要求”三角矩阵”,两种写法都对,但写成 更能体现结构。

记忆点: 的列序决定链的方向。链从零空间往外数()得上三角 Jordan 块;反着数得下三角。

逐次左乘时,"从哪一次幂开始"要想清楚

本题从 开始,因为它恰好把 送到 (非零),而把 全送成 0。次数取少了杀不干净,取多了连要求的项也杀掉。

通用做法:让最低次项存活、其余全灭 —— 即左乘 时只有 那一项活下来。这与上一题”左乘 只留最高位”看似相反,其实是同一件事:两题的链方向标反了, 在本题是链尾、在上题是链首。动笔前先画一次箭头图。

拓展

本节的两篇旧笔记是同一主题的几何入口与证明模板,一并挂在这里:

几何直觉页

Jordan 块的几何直觉:剪切链与逐层拖拽 把这一节的所有代数动作翻译成一张图:特征值管”缩放”,Jordan 块上那个 1 管”把邻居往自己身上拖”。理解了这张图,链的方向就再也不会记反。

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