考研笔记

秩1与结构型矩阵的谱

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秩 1 矩阵 的完整画像

设 是非零 维列向量,( 阶,秩恰为 1)。

性质结论
特征值(一重),( 重)
的特征向量
的特征子空间,维数
幂
可对角化 ,即

核心两行:

一句话记法: 给方向, 给零空间

把整个空间压到 这一条直线上,压扁的方向是 的正交补。特征值 衡量的正是” 有没有落在被压扁的那个平面里”:落在里面()就是幂零、不可对角化;不落在里面就可对角化。

时秩 1 矩阵不可对角化

此时特征值全为 0,若可对角化则 ,与 矛盾。“秩 1 一定可对角化”是错的,还得看迹。典型反例 。

三类常考结构

结构谱
全 1 阵 (一重,),( 重,)
(对角 、非对角 )(一重),( 重)
投影阵 ( 单位正交)( 重),( 重)

这三类的共同点: 是 的常数倍

、、投影阵 。幂封闭是它们能用二项式展开、能直接凑出零化多项式的根本原因。

型:只动一个方向

若 是 的单位特征向量(),且 实对称(从而其余特征向量与 正交),则

即: 方向的特征值 ,其余方向纹丝不动。 这是”秩 1 修正”的标准结论。

必考

880 第十四章综合解答 5

原题 设 均为非零列向量,.

(Ⅰ) 求 的全部特征值; (Ⅱ) 问 满足什么条件时, 可以相似于对角矩阵 ,并求可逆矩阵 ,使 .

解析

(Ⅰ) 答案:,。

第一步:秩定 0 的重数。 的每一列都是 的倍数,且 ,故 。于是的几何重数为，代数重数 。

第二步:迹定最后一个。

所有特征值之和为 ,已有 个 0,故剩下那个是 。

直接验证(更有说服力):

,故 确是特征值, 是对应特征向量。

(Ⅱ) 答案: 时可对角化。

充分性: 时,特征值为 (单重,几何重数必为 1)与 ( 重,几何重数 )。两者相加 ,可对角化 ✓

必要性: 若 ,则所有特征值都是 0。可对角化就意味着 ,从而 ,与 矛盾。✓

求 。 需要 的一组基,即 的基础解系。不妨设 (否则换一个非零分量的下标),方程 的基础解系可取

于是

( 可逆: 是基础解系故无关,而 属于不同特征值,与它们无关。)

与 是完全不同的两个东西

  • 是 的数(内积);
  • 是 的矩阵(外积,秩 1)。

本节所有题的核心就是这两者的配合:矩阵的唯一非零特征值,恰好是那个数。 写的时候务必把转置的位置盯清楚。

特殊情形 值得单独想一遍

此时 , 是幂零阵。这就是Jordan 链那一节的最小例子: 但 ,链长 2。“秩 1 + 迹 0” = “只有一个 2 阶 Jordan 块 + 其余全零”。

880 第十四章综合解答 6

原题 设 阶矩阵 . 求:

(Ⅰ) 可逆矩阵 及对角矩阵 ,使得 ; (Ⅱ) .

解析

(Ⅰ) 答案

个

关键分解:全阵，(核对:对角元 ✓,非对角元 ✓。)

是秩 1 实对称阵,,故 的特征值为 (一重)与 ( 重)。平移得 的特征值:一重重，特征向量(与 完全相同,平移不改变特征向量):

  • :;
  • : 即 ,基础解系

注意 时两个特征值合并(、,仍互异,因为 ),所以上述 对任意 都成立 —— 实对称,本来就必可对角化。

(Ⅱ) 答案:

且或且且

由伴随秩三分法,只需定 。而，情形 1: 且 。 ,,故 。

情形 2:。 此时 单重、 有 重,故 ,。

情形 3:。 此时 ,。

  • :,故 ;
  • :,故 。

时必须按 再分一次

伴随秩三分法是

给出 ,而” 是不是 “取决于 。题目写""就是在提示这里要分岔。 只写 会丢掉 的情形。

族的通用公式,背下来

特征值一重重

本题 、。第10章的”箭型 / 行和相等”行列式、第15章的正定判定都会再用到它。特征向量永远是 与超平面 ,与 无关。

1000 基础篇第5章 20

原题 设 ,其中 是 阶单位矩阵,.

(1) 计算 ,并求 ; (2) 验证 是 的特征向量,并求 的对应于 的特征值.

解析

记 、,则 ,且关键恒等式

(1) 答案

算 :

(中间用了 。)

求 —— 凑因式最快:

代回 即得上式。

(2) 答案: 是特征向量,特征值 。，,故 。

顺手把 的全部谱拿到,题目虽没问但值得知道

  • 方向:(一重);
  • ():,( 重)。

于是 的零化多项式是 ,即 —— 正是 (1) 里凑出来的那个式子。两条路互为验算。

系数 3 换成 2 就是 Householder 矩阵

若 ,则 、,即 关于超平面 的镜面反射,满足 、 正交、。

本题把 2 改成 3,几何上变成” 方向反射并拉伸 2 倍”,不再正交,但 、 的算法完全一样。看到 就写两行:、。

880 第十四章综合填空 3

原题 设 是 维正交单位实列向量组,, 是 阶单位矩阵,则行列式 ____.

解析

答案 。

第一步: 是投影阵,谱一眼可读。 对每个 ,利用正交单位性 :

至少重

对任意 与所有 正交:

至少重

两者相加已达 ,故 的特征值恰为重重，第二步:平移。 的特征值为 ( 重)与 ( 重),故，第三步:伴随的行列式。 由 ,

就是往 的正交投影

直接性质:(幂等)、(对称)、。

验幂等: ✓(用了 )。幂等 + 对称 = 正交投影,这是它在第15章、在概率的多元正态里的标准身份。

"正交单位"两个词都要用上

少了”单位”,,特征值就不是 1;少了”正交”,交叉项不消, 连幂等都不是。题干里每一个形容词都在承担计算。

这个条件其实不需要

时结论 同样成立。出题人写 ,大概只是为了强调这是”多个向量”的情形。又一个冗余条件,识别出来能让你更确信自己抓住了机制。

880 第十四章综合解答 8

原题 设 为 3 维单位列向量,且 ,记 .

(Ⅰ) 证明: 相似于对角矩阵; (Ⅱ) 若存在 3 维列向量 ,使得 ,记 ,求 .

解析

(Ⅰ) 一行搞定:

是实对称矩阵,必可对角化。

(Ⅱ) 答案，核心计算: 在 上的作用。 利用 (单位)与 (正交):

把 与 对调 —— 正是”交换型结构”,和与差就是特征方向:

于是 的三列各是什么,一目了然:

的列作用特征值

三个特征值互异,对应特征向量线性无关, 可逆,故 。

那个 是干扰项

的第二列写成 而不是 ,对结果毫无影响——非零倍数不改变特征值。出题人加这个 2,是想看你会不会以为对角元要跟着变成 2。扫一眼就该无视它。

为什么第三个特征值一定是 0

,所以 ,0 必是特征值。题目直接把 给你,省掉了这一步推理 —— 但要知道 的存在不是假设,是必然。

顺带: 就是 张成平面的法向量(实对称 不同特征值正交,而 、 张成的正是那个平面)。

1000 强化篇第8章 15

原题 设 2 阶实对称矩阵 的特征值为 ,且 , 分别是 的对应于 的单位特征向量,则与矩阵 相似的对角矩阵为( ).

(A) 　(B) (C) 　(D)

解析

答案 D。

前提:。 实对称、,故 ;又都是单位向量,。

逐个作用:

无关,故新矩阵有两个无关特征向量,相似于 。选 D。

"秩 1 修正只动一个方向"——这条结论要能秒答

加上 ( 是单位特征向量),效果是:

  • 方向的特征值 ;
  • 所有与 正交的方向完全不变。

更一般地,加 就是 。关键在正交性把交叉项清零,所以”实对称”这个条件不能少。

若 不是单位向量,答案要改

此时 ,特征值变成 。选项 D 就不对了。题干里”单位”两个字是答案的一部分。

880 第十四章基础解答 2

原题 判别下列矩阵 与 是否相似. 若相似,求可逆矩阵 ,使得 .

(Ⅰ) ;

(Ⅱ) .

解析

(Ⅰ) 相似,

是全 1 阵:、,故特征值为 ,与 的对角元一致; 实对称必可对角化,而 本身就是对角阵,所以， 由 的特征向量按 的对角元顺序排成:

  • :;
  • :,取 。

(Ⅱ) 相似,

第一步:两边的谱。

是块对角 ,后一块的特征值是 ,故 的特征值为 。

是下三角,对角线 ,特征值同样是 。

两者都有 3 个互异特征值 都可对角化 相似(经由同一个 )。

第二步:各自的特征向量(统一取 )。

:;;。

::由第 2 行 、第 3 行 得 ,取 ;:、,取 ;:,取 。

第三步:拼接。

验算 (逐列):

  • 第 1 列:; ✓
  • 第 2 列:; 第 2 列 ✓
  • 第 3 列:; ✓

(Ⅰ) 与 (Ⅱ) 难度差一个量级,原因在 是否已经对角

  • (Ⅰ) 的 是对角阵 只需 的特征向量,;
  • (Ⅱ) 的 不是对角阵 必须两边都对角化,。

看到 "" 而 非对角,立刻准备走两段路。 详细讨论见相似的判定与不变量里的 880 拓展解答 2。

的顺序两边必须一致

与 的列必须按同一个特征值顺序排(本题都按 )。若 按 而 按 ,拼出来的 就完全错了,而且验算之前发现不了。动笔前先把 写在纸上钉死。

拓展

1000 基础篇第5章 8

原题 设 为 2 阶矩阵, 是方程组 的解, 是方程组 的解,则矩阵 ____.

解析

答案

解法一(最快:直接读列)。 即 —— 的第一列为零。设 ,再用第二个条件:

解法二(特征值视角,展示结构)。 两个条件其实各给了一个特征对:

无关,故 可对角化:,,

两法一致 ✓

" 的解恰好是 自己"是特征值的伪装

就是 的定义式。同理” 是 的解”就是 。本章大量题目把特征值条件写成方程组语言,读题时要能立刻翻译回来。

对照第13章:那里关心的是”解集长什么样”,这里关心的是”这个解暴露了哪个特征值”。同一个式子,两种读法。

顺手验证: 确实秩 1、迹 1

,、,特征值 ✓,与解法二一致。而且 是标准的秩 1 外积形式,,所以可对角化 ✓ —— 与本节开头的表格完全吻合。

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