秩为 1 的矩阵：压到一条线，不等于一定能对角化

先看动画

这页只记一个核心区别：

看 输 出 空 间 剩 几 维 ； 对 角 化 看 特 征 方 向 够 不 够 铺 满 空 间 。

所以只说明把空间压到一条直线；它并不直接决定能不能对角化。

第一个矩阵：

它是“直接投影”：轴保留，平面里的方向直接变成。

第二个矩阵：

它也是把输出压到轴，但动作不是投影，而是“把方向搬到轴”。

两者都有：

但它们的特征方向完全不同。

对：，所以：

特征空间维数加起来是：，这表示可以找到个线性无关特征向量：。因此能对角化，事实上它已经是对角矩阵。

这里最容易卡的一点是：被压成的方向也可以是特征方向。因为对，，也就是说，零特征值的特征向量不是零向量，而是“被这个变换压成零的非零方向”。

对：，关键坏在中间这一句：

没有直接变成自己的倍，而是先被送到另一个方向，然后再被压成：

这叫“链式压缩”或“Jordan 链”。它不是对角矩阵能描述的动作，因为对角矩阵只能让每条坐标轴各自缩放：，再看特征空间。的唯一特征值是，且代数重数为。但

所以：

于是：，特征向量只够铺出一个二维平面，不够组成三维空间的一组基，所以不能对角化。

遇到“压缩到一条线”“秩为 ”“重根”这类题，不要直接判断能不能对角化。按这个顺序看：

更短的直觉版：

直 接 压 没 的 方 向 可 以 当 特 征 方 向 ； 先 被 搬 到 别 的 方 向 的 ， 就 形 成 链 ， 特 征 方 向 会 不 够 。