考研笔记

结构型数值行列式的计算

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方法模板

先看结构,不要急着展开。 阶数值行列式只有四种主流结构,对应四种固定手法:

  1. 各行(列)之和相同 → 全加到第一行(列),提出公因子,再逐行相减化成三角形。
  2. 爪形 / 箭形(对角线 + 一行一列) → 用对角元把爪子的”钩”消掉,化成三角形。若对角元可能为零,改用加边法。
  3. 对角 + 秩 1(形如 ) → 加边法:补一行一列造出爪形,再按第 2 条做。
  4. 三对角 / 次对角带状 → 按第一行(列)展开得二阶递推 ,再解特征方程 。

第 3 条的结论可以直接背下来:

判断口诀:能加就加(第1条),爪形就钩(第2条),秩1就补边(第3条),带状就递推(第4条)。

递推的收尾要点:特征方程两根 时；重根 时 。先算 定常数,不要凭印象套。

必考

880 第10章基础填空 3

原题

解析

典型爪形:主对角 撑起骨架,第 4 行和第 4 列是两只钩。用前三行把第 4 行的钩消干净:，前三列依次变成 、、,第 4 列变成，行列式化为上三角,

另解(秩 1 公式直接套)

把 看成 被第 4 行第 4 列的 修正。更直接的是按爪形通式

代入得 。这个通式建议背下来,填空题里能省一半时间。

880 第10章基础解答 1

原题

计算 阶行列式

(主对角元全为 ,其余元全为 )。

解析

每行元素之和都是 ,这是”能加就加”的标志。把第 行全部加到第 1 行:

再用第 1 行把下面各行的 打掉(,),得到下三角,主对角为 :

另解(秩 1 视角,建议掌握)

,其中 。 的特征值是 (一重,特征向量 )和 ( 重),于是 的特征值为 (一重)与 ( 重),，这条路在后面”相似矩阵”一章会反复用到,现在就把”秩 1 矩阵只有一个非零特征值 “记牢。

880 第10章基础解答 3

原题

计算 阶行列式

解析

三对角,按第一行展开。第一行只有 与 两个非零元:，(第二项的两个 一个来自 ,一个来自余子式里第一列唯一的非零元 ,连同符号 一起算,净得 。)

初值 ,。

特征方程 有重根 ,故通解 。代初值:,,解得 ,

重根别写成

重根时通解形状是 。这一步写错是本题型最高频的失分点。

880 第10章综合解答 2

原题

计算 阶行列式

解析

这是标准的对角 + 秩 1:。各行之和不同,不能直接用”能加就加”;用加边法。

在左上角补一个 ,第一行补 ,第一列补 ——这样按第一列展开就回到原式,值不变:

对 做 ,第 行变成 ,已经是爪形:

再用 把第一列除首元外全部清零,首元变成 ,行列式成上三角:

检验:取 即回到上一题,得 ,一致。做完结构题一定用特例回代验一次,这是最便宜的查错手段。

1000题强化篇第1章 1

原题

计算 阶行列式

其中 。

解析

与上题同构,只是秩 1 部分变成 ——注意 挂在列上而不是常数。仍然加边:

后化为上三角:

加边补哪一行才对

补的那一行必须和原来各行的”秩 1 部分”完全一致(这里是 ),这样 才能把秩 1 部分干净地减掉、只留下对角。补错行会得到一堆残项。

1000题基础篇第1章 6

原题

设 阶行列式

则（ ）。

A. 为等比数列

B. 为等差数列

C. 为范德蒙德行列式

D.

解析

选择题不必硬解,算前三项就够:

是公差为 的等差数列,排除 A、C、D(注意 ,D 是最像的错项)。选 。

补完整:递推 ,特征方程 重根 ,故 本身就是等差数列,。

副对角是 还是 不影响结果

三对角递推的第二项系数是 。这里 ,;上一题 , 也是 。两题递推式完全相同,通项都是 。别以为换了符号答案就变。

拓展

880 第10章综合解答 4

原题

计算

解析

一般三对角。按第一行展开:，特征方程 ,两根，满足 ,。题设 保证两根实。

情形一 ():设 ,由 、 解得 ,,

情形二 (重根 ):,代初值得 ,

验算:令 ,则 ,得 ,与前面的三对角题一致。

只依赖 的乘积

结果里 只以乘积 出现。这是因为可以用对角相似 把 调成 而不改变行列式。看到三对角先算 ,不用管两条副对角各自是多少。

880 第10章综合解答 1

原题

计算 阶行列式

解析

先把矩阵写成结构式。记 ,则第 元为 ,即，秩 1 修正,直接用特征值最快。 是秩 的对称阵,唯一可能的非零特征值是 (特征向量 ),其余 个特征值为 。于是 的特征值为

一重重

另解(加边法,不依赖特征值)

变成爪形。当 时用 得首元 ,故 。 时两边都为 (),公式仍成立。

什么时候用哪种:能看出 秩 1 结构就走特征值(三行写完);看不出、或者含参数需要讨论,就老老实实加边。

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