具体矩阵求特征值与含参定值

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方法模板

标准四步(具体矩阵,无参数)

1. 写 ,想办法提公因式——绝不硬展开成三次多项式再猜根;
2. 解出特征值,标好重数;
3. 对每个 解 ,求基础解系 = 特征向量;
4. 验算:,。

第 1 步是全章最值钱的技巧

三阶特征多项式硬展开容易错、又难分解。四条提因式的路子,按尝试顺序:

1. 行和相等 各行相加,提出 ;
2. 有两行(列)只差一个 的一次式 相减提出公因子;
3. 有一行/一列只有一个非零元 直接按它展开,降到二阶;
4. 能写成 且 结构简单(如 为全 1 阵、秩 1 阵) 先求 的谱再平移。

含参题的两条路线

题目给的条件	立刻列的方程
给了一个具体的特征向量	,逐分量比对,一次拿下所有参数
给了” 是 重特征值”且可对角化	,即 的秩被钉死
给了部分特征值	补出剩下的
给了 且 具体	与 各一个方程,再加秩条件

" 重 + 可对角化 秩恰好是 "是含参题的主力

尤其 、 时 —— 秩 1 意味着所有行两两成比例,这就把参数一次性解出来了。本节有五道题走的都是这一条。

三阶矩阵特征多项式的系数公式(省时利器)

其中 ,, 三个二阶主子式之和:

什么时候用它

当矩阵没有明显结构、又必须知道全部特征值时。三个小行列式比一个三阶展开快,而且每一项都能独立复核,不容易连锁出错。

必考

880 第十四章基础填空 1

原题 已知 与 相似,则 ____.

解析

答案 。

最快解:用迹。 相似必同迹,

一行完事,连特征值都不用求。

另解(顺手把 的谱全部拿到,后面还要用)。 注意

是秩 1 阵,特征值为 与 。于是 的特征值为，即 ,与 对照即得 。

这个 在本章还会再见

880 基础解答 1 就是对同一个 求全部特征向量、 和正交矩阵 ——见实对称与正交对角化。这里顺手把它的谱记下来:行和 5 给出 、;剩下两个都是 。

迹相等只是必要条件

本题能一步到位,是因为 已经是对角阵、其余两个特征值题目直接给了。若题目改成” 与 相似,求 中两个未知元”,光凭迹是不够的,还要补 甚至秩条件。迹是免费的第一个方程,不是全部方程。

880 第十四章基础解答 3

原题 设矩阵 有特征向量 .

(Ⅰ) 试确定参数 及 对应的特征值 ; (Ⅱ) 问 能否相似于对角矩阵,说明理由.

解析

(Ⅰ) 答案 ,,。

给了具体特征向量,就写定义式逐分量比对——这是最直接、最不容易错的路:

第 1 个分量不含参数,直接给出 。回代:

先扫"不含参数的那一行"

三个分量里往往有一行只由已知数构成,它一步定出 。定了 之后,其余各行就是一次方程,各管一个参数。不要三个方程一起解。

(Ⅱ) 答案:不能。

代入参数,。用系数公式求特征多项式:

故， 是三重特征值。再看几何重数:

,故几何重数 代数重数。特征向量凑不出 3 个无关的, 不可对角化。

已经在暗示答案

三重特征值 的和恰是 。做完 (Ⅰ) 拿到 后,发现 ,就该立刻怀疑”三个特征值全是 “,然后直接去算 验证——比老老实实展开特征多项式快得多。

880 第十四章基础解答 4

原题 设 ,,且 是 的二重特征值,求 的值及可逆矩阵 ,使得 .

解析

答案 ,;

第一步:秩条件定参数。 且 二重 几何重数 。

第三行已经是第一行的 倍(自动满足)。要秩为 1,第二行也必须与第一行成比例:，第二步:补出第三个特征值。，第三步:求特征向量。

: 化为单个方程 ,即 。取自由变量 :，:。由第二行 得 ,即 ;代入第一行:。取 ,则 :，验第三行: ✓。

第四步:拼装并验算。 ,。检查 :，直接算 : ✓。

这四个字是全题的支点

若没有"",二重特征值的几何重数可能是 1,秩条件就变成 ,参数解不出来。“可对角化 + 重”才等价于”秩恰为 ”。 题目把 写在前面,不是废话。

1000 强化篇第7章 2

原题 设矩阵 有三个线性无关的特征向量, 是 的二重特征值,则( ).

(A) 　(B) 　(C) 　(D)

解析

答案 A。与上题同一招,只是换成了选择题。

“有三个线性无关的特征向量” = 可对角化;” 二重” 。

第三行 第一行(自动)。第二行须与第一行成比例:,由第二个分量 得 ,故，选 A。

选择题可以只用一个分量

四个选项里 的取值是 。只要盯住”第二行 第一行的比值必须处处相同”这一条,拿中间那个不含参数的分量( 与 )定出比值 ,答案立刻锁定。不必解方程组,也不必求 。

顺手补一句:

虽然本题不问,但考场上多花三秒算出 ,可以顺便检查 ,防止选项抄错。

1000 基础篇第5章 2

原题 设 ,若 的三重特征值 对应两个线性无关的特征向量,则 .

(A) 1　(B) 2　(C) 　(D)

解析

答案 D()。

第一步:三重特征值必等于 。，第二步:几何重数 2 秩 1。 题目说”三重特征值对应两个线性无关的特征向量”,即几何重数 ,故

前两行已相同。秩为 1 要求第三行与第一行成比例:,由第二个分量 得 ,故 。

验算(这一步能挡住陷阱): 时 , 的特征值为 ——三个全零,说明 幂零, 的特征值确实全是 ,与”三重”吻合 ✓。

本题的 是不可对角化的,别被"三重特征值"迷惑

三重特征值 、几何重数只有 2 ,所以 不可对角化。题目问的是”对应两个线性无关的特征向量”,不是”可对角化”。这两句话对应的秩条件不同:

• 几何重数 ;
• 可对角化(几何重数 ),即 ,那 就得是 0 且矩阵完全不同了。

把”几何重数 “这条公式写清楚,再往里代数字,就不会混。

1000 基础篇第5章 10

原题 已知 与 是矩阵 的特征值,若矩阵 可相似对角化,则 .

(A) 　(B) 0　(C) 1　(D) 2

解析

答案 B()。

第一步:补出第三个特征值。，于是特征值是 , 是二重。

第二步:可对角化 。

第一行与第三行相同。要秩为 1,第二行必须与第一行成比例:。看中间分量:,于是 ,即 。

验算: 时 ,秩确为 1 ✓。

中间那个 0 是本题的钥匙

第二行形如 ,中间分量恒为 0。而第一行中间分量是 1,非零。两行成比例只能靠 ,即第二行整行为零。这一眼看出来,题就做完了。含参题里”恒为零的那个分量”往往一步定死参数。

1000 基础篇第5章 11

原题 已知 ,求 的特征值,并讨论 是否可相似对角化.

解析

答案:特征值为 ;当 且 时可对角化,当 或 时不可对角化。

第一步:靠”两行只差一个一次式”提因子。 观察 的第 1、3 行:

于是 是一个因子,。

第二步:用 与 定出另外两个。

故(当 )。于是 是的两根,即 与 (直接验证:和 ✓,积 ✓)。 时把 代进 ,与 、 一致,公式同样成立。

第三步:找重根。 三个特征值 :

• 恒不成立;
• ,此时谱为 ( 二重);
• ,此时谱为 ( 二重)。

第四步:逐个查几何重数。

:,

第一、三行相同,前两行无关,故 ,几何重数 。不可对角化。

:,乘 2 得 。由 与 ,可见秩为 2,几何重数 。不可对角化。

其余 :三个特征值互异,必可对角化。

含参"讨论型"大题的固定骨架

① 提因式拿到一个特征值 → ② 用 、 补出剩下的 → ③ 令各对特征值相等,解出所有可能的重根参数 → ④ 只在这几个参数点上算秩。第 ③ 步不能漏解:三个特征值两两配对共 3 种,逐一列出再排除不可能的。这与第13章含参方程组” 的每个根都要代回”是同一种纪律。

1000 基础篇第5章 15

原题 已知 ,求 的特征值,问 为何值时 不能相似于对角矩阵; 为何值时 相似于对角矩阵,并求可逆矩阵 ,使得 .

解析

答案:特征值 (与 无关); 时不可对角化; 时可对角化,取

第一步:提因子。 在 中,，故 。注意参数 在相加中消掉了——这预示特征值与 无关。

第二步:补齐。 ; 。于是 ,。特征值恒为 ,与 无关。

第三步: 二重,查几何重数。

• : 与 无关,,几何重数 ,不可对角化;
• :,三行成比例,,几何重数 ,可对角化。

第四步: 时求 。 此时 。

: 归结为 ,自由变量 :，:。由第一行 ;由第二行 。取 :，,。

"特征值与参数无关"是这题的设计巧思

参数 只影响几何重数,不影响特征多项式。这类题一眼看不出,但提因式时参数被消掉就是信号。遇到这种情形要意识到:后面的讨论全在秩上,不必再对特征值分情况。

880 第十四章基础解答 7

原题 已知 ,,,求 的值.

解析

答案 ,,。

第一步: 是对角阵 可对角化,且 二重 。

第二步:先用不含 的两行定 。 第 2、3 行不含 ,秩 1 要求它们成比例。首元之比为 ,故

两处给出同一个 ,这就是本题内建的验算。

第三步:再用第 1 行定 。 此时第 2 行为 ,第 1 行为 ,故 。

第四步:迹定 。，验算: , 三行成比例, ✓;。直接算: ✓。

含参秩 1 的题,先挑不含参数的两行

三行中若有两行完全不含未知参数,先让它们成比例——这一步只解一个未知量(),且往往给出两个一致的方程,天然带验算。之后含参那一行只是一次代入。顺序选对,计算量减半。

拓展

1000 基础篇第5章 6

原题 设 是 3 阶矩阵,将 的第 2 列加到第 3 列得矩阵 ,再将 的第 3 行的 倍加到第 2 行得 ,其中 为常数,则 的特征值为( ).

(A) 　(B) 　(C) 　(D)

解析

答案 A。

巧解(两行做完):把两次初等变换写成矩阵,发现它们互为逆。

• 第 2 列加到第 3 列 = 右乘 ;
• 第 3 行的 倍加到第 2 行 = 左乘 。

记结果为 ,则，于是 —— 与 相似! 特征值完全相同。

读 的谱:第一列只有 非零,按第一列展开得因子 ;余下 是下三角,特征值 。故，选 A。

"一次行变换 + 一次列变换,且互为逆运算" = 相似变换

这是本题唯一的考点,也是初等变换与相似的交汇处:

• 只做行变换或只做列变换 一般只保秩,不保谱;
• 做一对互逆的行、列变换 ,保谱。

判断方法:把两个初等矩阵写出来,看是不是 。本题”第 2 列加到第 3 列”与”第 3 行的 倍加到第 2 行”正好是一对——注意行、列的下标是反着的( 列 对应 行),这是互逆的标志。

另解(硬算 ,用来复核)。 由 得 。 是把 的第 3 行加到第 2 行:

再右乘 ,即把第 2 列的 倍加到第 3 列:

按第一列展开:因子 ;余下 块的迹为 、行列式为 ,故 。特征值 ,与巧解一致 ✓。

硬算路线容易在"右乘 "这一步搞反

右乘 时,新的第 列 。 的第 3 列是 ,所以新第 3 列 = 老第 3 列 老第 2 列。方向搞反就全错。能走巧解就别走硬算。

880 第十四章拓展解答 2

原题 设 ,,且 ,求 的值及可逆矩阵 ,使得 .

解析

答案 ,

第一步: 的谱。 的第一列只有 非零,按第一列展开:

特征值 ,三个互异。

第二步:迹定 。 。

验算 :第三步(关键): 不能直接求,要走”共同的对角阵”。

其中 , 分别由 的特征向量按同一顺序排成。

第四步:两边的特征向量。 对 :

(逐个验: 时 ✓; 时 ✓; 时 ✓。)

对 :;;。

为什么可以整体乘 3? 因为 —— 标量倍数在相似变换里自动抵消。乘个公分母把 变整数,永远合法,考场上务必这么做。

验算 (必做,三列各一次):第二列:,而 ✓

第三列:,而 ✓

"求 使 "与""是两道不同难度的题

后者只需 的特征向量;前者必须两边都对角化再拼接,公式是 而不是 。记法:“从 出发,先按 的向量走过去(),再按 的向量退回来()”。 顺序反了就得到 型的错误结果。

验算 (而不是求 )是最省力的复核方式:两边都是矩阵乘法,逐列比对即可。

880 第十四章综合解答 14

原题 设向量 可由 线性表示,且表示法不唯一。记 。求:

(Ⅰ) 的值,并写出 由 表示的线性表达式; (Ⅱ) 一个可逆矩阵 ,使得 ( 为对角矩阵).

解析

(Ⅰ) 答案 ,,表达式

第一步:把”表示法不唯一”翻译成秩条件。 这是第12、13章的语言: 可由 表示 有解;表示法不唯一 有无穷多解 。于是先要 :

故 或 ——两个都要代回检验相容性(第13章的纪律)。

第二步:逐根代回。

:,增广矩阵第 2 行为 —— 矛盾方程,无解。舍去。

:,。增广:

相容要求 ,即 。

第三步:写通解。 由 得 ;由 得 。令 :，取 验算: ✓

(Ⅱ) 答案

的第 2 行只有 一项,按它展开:

特征值 。查几何重数:

几何重数 ✓,可对角化。

• : 给 、,得 ;
• :,得 。

这题是第12、13、14 三章的接缝

(Ⅰ) 是纯粹的第12、13章:“能表示”= 有解、“不唯一”= 秩亏,而且必须逐根代回查相容性(那个被舍掉的 正是第13章反复强调的坑)。(Ⅱ) 才进第14章。

出题人把两章缝在一起,是想看你会不会在拿到 的两个根后偷懒只验一个。 满足 却让方程组无解——这正是第13章” 不等于有解”的经典形态。

链接

• 方法总纲:特征值与特征向量:定义、谱与三条恒等式 · 可对角化判据与几何重数
• 同章:可对角化的判定 · 相似的判定与不变量
• 上一章:第13章 含参方程组的解的讨论(逐根代回的纪律) · 消元法与基础解系(求特征向量的动作)
• 更早:第10章 结构型行列式(行和相等提因子) · 第11章 初等矩阵与初等变换(1000 基础 6 的巧解)
• 往后:第15章 二次型(含参正定判定用同一套讨论骨架)
• 易错清单:第14章易错点