考研笔记

消元法、基础解系与矩阵右端

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方法模板

求通解的标准流程(五步,一步都别跳)

  1. 写增广矩阵 ,只用行变换化到行最简形(RREF)。
  2. 数秩: 与 。不等就收笔判无解。
  3. 指认主元列和自由列。自由变量个数 。
  4. 令全部自由变量为 0,回代得特解 。
  5. 令自由变量依次取 ,得 个基础解系 。

为什么第 5 步这样取就自动线性无关

因为这 个解在自由变量那几个分量上恰好排成一个单位矩阵。含单位子块的向量组必然线性无关——这是第12章”行最简形直接读系数”的同一个理由。所以按这个套路做出来的基础解系,无关性不必再验。 反过来,如果你的解是靠”凑""作差”得来的(比如上一节的系数和配平),就必须单独验一次无关。

右端是矩阵时: 按列拆开

对每一列分别成立。所以:

  • 一次行变换 ,所有列共用同一套消元,不要做 遍。
  • 有解 。
  • 若 ,则每一列各带自己的参数 ——写答案时千万别只写一个 。

的参数个数

是 时,通解含 个自由参数。三列就要 三套,而且它们互相独立。这是这类题最常见的扣分点。

必考

880 第十三章基础解答 1

原题 求方程组

的通解.

解析

第一步:挑主元行。 第二个方程的 系数是 1,拿它当第一行最省事(避免分数)。

第二步:秩。 ,相容;,基础解系一个向量。主元列是第 1、2、4 列,自由变量是 。

第三步:回代。 由第三行 (注意 被唯一确定了,不是自由变量);由第二行 ;由第一行 。

取 得特解 ;取 并去掉常数部分得 。

通解:，验算(考场务必做,20 秒): 把 代入原方程一、三、四:

把 代入(右端应全为 0): ✓, ✓, ✓, ✓。

"第四个方程是多余的" 不等于"可以一开始就扔掉"

本题四个方程秩只有 3,确实有一个冗余。但哪一个冗余要消元之后才知道,不能凭”系数看着像”提前删。这里冗余的是第四行(它 第三行的 2 倍),但换一组数字冗余的可能是任意一行。

自由变量不是"随便挑一个"

化到阶梯形后, 虽然排在最后,却是被 锁死的主元变量;真正自由的是没有主元的那一列,即 。选错自由变量会导致基础解系写错。认列不认位置。

1000题强化篇 第5章 10

原题 设 ,,, 是线性方程组

的解向量,则 能否构成方程组 的基础解系?若能,说明理由;若不能,请增或减向量,使之成为基础解系.

解析

答:不能。 需要减去 、增加 ,得基础解系 。

基础解系要同时满足三条:① 都是解;② 线性无关;③ 个数 。题目已经保证了 ①,所以只需查 ② 和 ③。

第一步:算 ,定出该有几个。

后三行两两成比例(第二、四行相同,第三行是它们的相反数),故，基础解系应含 3 个向量,题目却给了 4 个,个数就不对——4 个 5 维向量落在 3 维解空间里必然线性相关。

第二步:找出多余的是谁。 直接观察:

所以 ,,四个向量的秩只有 2(而 在第 4 分量上一个是 0 一个是 1,线性无关)。

第三步:补上缺的那一个。 求 的完整基础解系。由上面的阶梯形取 、,作 得 ,于是行最简形给出

自由
自由变量取值解

题目给的四个向量第 5 分量全是 0,而解空间里存在第 5 分量非零的解——这正是它们张不满解空间的直观原因。

验算 : ✓; ✓; ✓; ✓。

结论: 是 的一个基础解系。

一眼看穿"张不满"

给定的解向量若在某个分量上全为 0,而解空间里存在该分量非零的解,就一定不完整。本题四个 的第 5 分量全是 0,几乎不用算就知道要补一个 的解。这个观察在考场上能省下一半时间。

"都是解 + 线性无关" 还不够

很多人验完这两条就作答。必须再数一次个数 。少了不构成基础解系(张不满),多了不可能线性无关。三条缺一不可。

1000题基础篇 第4章 7

原题 已知非齐次线性方程组

有 3 个线性无关的解,记该方程组的系数矩阵为 。求:(1) 的值;(2) 该方程组的通解;(3) 齐次线性方程组 的通解.

解析

(1) 由”3 个线性无关的解”锁死秩。

上一节的结论: 有解时,线性无关解的最大个数 。这里 ,要有 3 个线性无关的解,需，而 的前两行 与 显然不成比例,故 。夹逼得，对增广矩阵消元:

要秩为 2,第三行必须是第二行的倍数,设倍数为 :，前两式相加:,于是 。第四式验证: ✓。第三式:。

(2) 通解。 代入后阶梯形为

主元列第 1、2 列,自由变量 。由第二行 ;代入第一行

取值结果
特解

验算: 代第三式(): ✓; 代第二式: ✓。

(3) 的通解。

关键结论(本章反复用): 与 同解,从而 。

证明只需两行: 显然;反之若 ,左乘 得 ,故 。

所以 的通解就是 的通解:

第 (3) 问的陷阱是"多算"

看到 是 方阵,很多人真的去乘出来再消元——算量翻五倍,还容易错。只要认出” 与 同解”这个标签,第 (3) 问就是第 (2) 问的齐次部分,一分钟不到。 详见$A^{\mathrm T}A$ 型方程组。

"有 个线性无关的解" 是给秩的

凡是题面出现”有 个线性无关的解”,立刻翻译成 ,即 ;再用”某几行显然不成比例”给出 的下界,夹出确切的秩。这个套路本章出现频率极高。

1000题强化篇 第5章 11

原题 已知 是常数,且矩阵 可经初等列变换化为矩阵 .

(1) 求 ;(2) 求满足 的可逆矩阵 .

解析

(1) “可经初等列变换互化” 的唯一硬信息就是秩相等。

先算 (按第一行展开):

恒为 0,与 无关,所以 。而 的前两行不成比例,(对任意 )。

于是必须 ,即 :，回验 时 :,,秩确为 2 ✓。

(2) 求 。 “初等列变换”就是右乘可逆矩阵,所以要解矩阵方程 ,把 按列拆开:。三列共用一次消元,对 作行变换:

末行全零,三列都相容 ✓。自由变量是 (第三列无主元),记第 列的参数为 :

右端第一行右端第二行 任意

还要挑出可逆的。 记 ,,,则三列分别是 。第三列减第二列得 ,于是

故 ,可逆 ( 完全自由)。

取最简单的 :

验算: ✓ ; ✓ 。

第 (2) 问必须交代"可逆"

的解 有无穷多个,其中大部分不可逆( 时第二、三列相同)。题目要的是可逆的 ,所以求完通解后一定要算 并给出参数限制,或者至少验证你选的那个具体 行列式非零。只写通解不挑可逆的,这一问拿不到满分。

列变换 = 右乘,行变换 = 左乘

” 经初等列变换化为 ” ( 可逆);“经初等行变换” 。而解 时我们又是用行变换在算——两者不冲突:行变换是解方程的手段,右乘 是题目的结论。这条”左乘保行、右乘保列”的口径来自第12章,本章天天用。

拓展

1000题强化篇 第5章 12

原题 设 ,,,.

(1) 求 的解,并求出 ;(2) 求满足 的所有 .

解析

(1a) 解 。 先看 :，故有唯一解。消元:

回代:;;。，(1b) 求 。 是 , 是 ,故 是 。由 (展开:)知 可逆, 唯一。

巧解(不求逆矩阵)。 观察 的三列与 的三列:

的列就是 的列换了个顺序(1↔2 对调)! 由 的第 列 ,立刻读出，第四列满足 ,解这个小方程组:由第二行 ,第三行 ,第一行 。设 ,则 ,,代入第一行:。故 。

验算: ✓。

另解(硬算 )。 ,再乘 得同一结果。可靠但慢一倍,且伴随矩阵的转置极易写错——能看出列的对应关系就别求逆。

(2) 求所有 使 。

是 、秩为 3(含可逆的 ), 是 ,故 是 。

齐次部分: 解 ,即，由 (1a),。代入并按 归并:

可逆,故括号内全为零:。取 :特解: 取 ,则 ,即 是 的第 列。,由伴随矩阵得

验算一列: ✓。

合并(三列各带一个参数):

为任意常数。

三个参数,不是一个

的三列是三个互不相干的方程组 ,每列各自带一个自由参数。写成 就把三列绑死了,只描述出全部解的一个一维子集。

列比行好用

这一题从头到尾都在用”矩阵乘法的列视角”: 的列 的列, 是 各列的组合。凡是右端为矩阵、或系数矩阵被写成分块列的题,先按列拆几乎总是最短路径。这条视角在列向量重组那一节会用到极致。

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