考研笔记

由谱反求矩阵

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方法模板

三条反求路线

已知公式适用场合
全部特征对 ,通用,但要算一次逆
特征向量两两正交实对称,免求逆
且知谱, 张成 最快,只有一项

先数 再选路线

若非零特征值只有一个, 就是秩 1 阵,第三条路只需一次外积;若特征向量正交(实对称),走第二条;两者都不满足才老老实实求逆。

部分已知矩阵元素时的杀手锏:拿一行去点乘

题目常常只给 的某一行(如”第一行是 “或”某一行元素全为 1”),再给几个特征向量,问特征值或 。

设 的第 行为 。由 取第 个分量:

—— 一个纯数值方程,一步定出 (只要 )。

"某一行全为 1"的特例

此时 是 的分量和,于是

分量和

若题目没说是哪一行,就逐个 试:遇到 而分量和 的,该行立即被排除。

” 是 的有理式” 同一个

若 能写成 的多项式或 的形式,则 与 特征向量完全相同,特征值按同一函数变换:

识别信号:题目给的是 矩阵方程而不是 本身

如 、、 且 谱单 —— 这些条件的唯一用途就是说明” 由 生成”,从而共享特征向量。解出 的显式表达式往往是弯路;把它写成 的有理式,再在特征值上做同样运算,才是正路。

反求后必做的三重验算

  1. ;
  2. ;
  3. 把每个 代回验 。

第 3 条最值钱

反求题的答案是个具体矩阵,一旦算错,后续全错且难以察觉。代回验算只需三次矩阵—向量乘法,几十秒能锁死答案。本节每道题都给出了验算过程。

必考

1000 强化篇第7章 5

原题 设 3 阶矩阵 的某一行元素全是 1,且 有 3 个特征向量 ,,,则 的迹 ____.

解析

答案 3。

先算三个向量的分量和:，再逐行试。 设第 行全为 1,由 的第 个分量得 。

  • (第二行)? 的第 2 个分量是 0,而 ,方程 无解。排除。
  • : 三个向量的第 1 个分量都是 1,故
  • : 第 3 个分量依次是 ,故

两种可能的行都给出 ,答案唯一。

题目说"某一行"而不指明,答案却唯一——这不是巧合

分量和为 0 的 必然对应 (无论哪一行);其余两个特征值由比值确定。三个特征向量已经把 钉得很死了,行的位置只影响 的具体元素,不影响谱。

做题动作:先算三个分量和,再看哪些行的分量为 0 —— 分量为 0 却分量和非零的行,直接排除。

时不能除

那一行被排除,靠的正是”不能除以 0”。若某个向量的第 分量为 0 且分量和也为 0,那这一行是允许的,只是该特征值不受此方程约束(需要别的向量来定)。分情况要写清楚。

1000 强化篇第7章 6

原题 设 有特征向量 .

(1) 求 的对应于 的特征值; (2) 求 的通解; (3) 求 .

解析

(1) 答案 ,。

用第一行 逐个点乘,再除以第一个分量:

(2) 答案任意， 都属 且线性无关(第 2 分量 与第 1 分量 不成比例),故 ;又 说明 ,即 ,故 。两边夹得 , 恰是基础解系。

(3) 答案

巧解(秩 1,一次外积): 由 (2),。秩 1 且唯一的非零特征值 配特征向量 ,故 的每一列都是 的倍数:某个行向量，而 的第一行是 ,故 :

验算:

  • ✓
  • ✓
  • ✓

另解(标准 )。 ,,,

只有第 3 列非零,所以 等于 乘上 的第 3 行。而 的第 3 行 。得同一结果 ✓

秩 1 时," 的任意一行 = 那个方向向量的对应分量 同一个行向量"

的第 行就是 。题目给了哪一行,就用哪一行反解 ,一步到位,连行列式都不用算。

这条在秩 1 反求题里几乎万能:1000 强化 6、880 基础解答 6(那个 )、1000 基础 23 都能这么做。

的第 3 行恰好是 的第一行

这不是巧合: 的第 3 行是与 都正交的行向量(因为 意味着它点乘前两列得 0),而 的每一行也必须”杀掉” 。两者本来就在同一条直线上。

880 第十四章基础解答 9

原题 设矩阵 有 3 个特征向量 .

(Ⅰ) 求 ; (Ⅱ) 求一个可逆矩阵 ,使得 .

解析

(Ⅰ) 答案

第一步:第一行全为 1,用分量和定特征值。 第一行 ,三个 的第 1 分量都是 1,故 :，第二步:。

是反三角阵,求逆很容易:由 即倒推得 ,故

验算(三条全过):

  • 第一行确为 ✓(与题设吻合,这本身就是最强的验算);
  • ✓, ✓, ✓;
  • 是上三角,对角线 ,与谱一致 ✓。

(Ⅱ) 答案

思路: 与 都可对角化(三个互异特征值 ),经由同一个 中转。 统一取 。

的特征向量(已有,按新顺序排):

的特征向量:

  • : 给 、,得 ,取 ;
  • :、,取 ;
  • :,取 。

验算 (逐列):

  • 第 1 列:; ✓
  • 第 2 列:; ✓
  • 第 3 列:; ✓

任意方阵都与它的转置相似,而且可以取对称的

本题算出的 恰好对称(),这不是偶然: 是普遍事实,并且总存在对称的过渡矩阵。

快速理由(可对角化情形):,,于是

就满足 (直接代入即验),而它显然对称。算完 若发现不对称,多半哪里错了 —— 这是个免费的自检。

别用 与 的特征向量"直接配对"

的 特征向量是 , 的是 —— 完全不同。 的特征向量必须重新解一遍,不能从 的转置来。这正是转移表里” 特征向量一般完全不同”那一行的具体体现。

1000 强化篇第8章 7

原题 设 ,矩阵 满足 ,求可逆矩阵 ,使 为对角矩阵,并写出该对角矩阵.

解析

答案

第一步:把 写成 的有理式。 由 得 ,即，先确认 可逆(稍后由谱确认),则 ,于是

是 的有理式 与 特征向量完全相同,特征值按变换。

第二步:求 的谱。 的每行元素之和为 0(,,),故，,,再算二阶主子式之和:

故

特征值 。( 的特征值为 ,全非零,可逆性确认 ✓)

第三步:特征向量。

  • :,由第 1 行 ,代入第 3 行 ,取 ;
  • :,由第 3 行 ,代入第 1 行 ,取 。

( 实对称,三个特征向量自动两两正交 ✓ —— 又一个免费自检。)

第四步:算 的特征值。，取 即得答案。

千万别去解出 的显式矩阵

那要算一次三阶逆 ,再做两次矩阵乘法,计算量是本解法的五倍以上,而且中途出错无法察觉。

正路是:把 化成 的有理式 特征向量照抄 特征值代函数。 识别信号就是题目给的是矩阵方程 而不是 本身。

化简 的标准手法:提公因子

关键在于 与 可交换(都是 的多项式/有理式),所以提左提右都行。凡是只含 与 的表达式,内部一律可交换,这让化简自由度很大。

1000 强化篇第8章 8

原题 设 恰有 2 个不同的特征值且可相似对角化,,. 求:

(1) 的值; (2) 可以使 同时相似对角化的可逆矩阵 .

解析

(1) 答案 ,。

先求含参谱。 的第三列是 ,按第三列展开:

特征值为 。“恰有 2 个不同特征值”要求 ,两种都要验。

情形 : 谱为 ,可对角化要求 。

前两行已成比例;第三行 与 成比例需 ,与 矛盾。舍去。

情形 : 谱为 ,可对角化要求 。

第三行与第一行成比例需 ✓。取 。

(2) 答案

关键: 是 的有理式。 由 ,， 的特征值为 ,全非零,可逆 ✓。 与 特征向量完全相同,特征值按变换:,。

求 的特征向量:

  • :,得 、,取 ;
  • (二重):,方程归结为 ,取 。

由这三列拼成,同时对角化 与 。

"同时对角化"的题眼永远是"两者可交换"

本题的 由 生成,自然与 可交换,所以共享特征向量。求 时只需对 做一次特征向量计算, 白送。

对照可对角化的判定里 1000 强化 2:那题给的是两个具体矩阵,要先验 ;这里是给了生成关系,交换性自动成立。两种出法,同一个原理。

那一支必须写出来再舍

阅卷时”恰有 2 个不同特征值”必须讨论两种情形。只写 会被扣步骤分,而且逻辑上确实不完整 —— 是 这个条件把 排除掉的,不写出来就看不出这个条件用在哪。

拓展

880 第十四章拓展解答 1

原题 设 是 3 阶实对称矩阵,存在可逆矩阵 ,使得 ,且 , 分别为 的特征值 对应的特征向量, 的特征值 对应的特征向量 . 求:

(Ⅰ) 与 的值; (Ⅱ) 矩阵 .

解析

(Ⅰ) 答案 ,。

第一步:实对称 ,这就解出 。

第二步:用 筛掉一个。 可逆(),故 与 特征向量完全相同。 的三个特征值互异,每个特征子空间一维,所以 必须是 或 的特征向量 的倍数。

  • : ,,由两次正交得 ;而 不是三者中任何一个的倍数。舍去。
  • : ,。求 :

取 :。而此时 —— 正是 ✓

所以 , 对应 的特征值 ,从而，(Ⅱ) 答案

第一步:化简 。 对任意可逆 有 ,取 :

所以问题化归为求 。

第二步:谱分解求 。 三个特征向量两两正交(已验:,),长度平方分别为

其中

逐元素合并(通分到 30):

三重验算(全部通过):

  • ✓;
  • ✓;
  • ✓;
  • ✓。

—— 这条恒等式先写出来,题就只剩求

推导只有一行:。

配套记住这一族:、、。看到伴随套伴随、伴随套逆,先化成 的倍数,绝不展开。

本题的计算量集中在最后一步,但没有捷径

三个特征值都非零、特征向量都不正交单位,所以谱分解必须老实做完。唯一能省的是:先化简 ,把”求伴随的伴随”变成”求 ”。 若一上来就想算 再算它的伴随,计算量还要翻倍。

的筛选是本题真正的考点

正交性给出 两个候选,必须用第三个条件( 是特征向量)去筛。很多人算到 就停了,或者随便取一个。

筛选的逻辑要写清楚:三个特征值互异 特征子空间都是一维 只能是三个 之一的倍数。 这一步用到了” 与 特征向量相同”。

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