考研笔记

二次型的矩阵、秩与平方和型

🏠 第15章概念导航 · 二次型题库

方法模板

一、二次型 ↔ 矩阵：两条翻译规则

方向做法
的系数整个放在 ；()的系数对半分给 和

题目给的矩阵不一定对称——先对称化再动手

若题目写 而 ，二次型的矩阵是

因为 是数，，取平均即得。不对称化就去求特征值，全盘皆错（ 与 的谱毫无关系）。

二、平方和型：本章出现频率最高的外形

于是 ，一次读出四件事：

读出的事依据
恒成立（半正定）平方和
第13章
正惯性指数 ，负惯性指数 半正定 + 秩
平方和为零 每项为零

一句话： 平方和型的一切问题都退化成对系数矩阵 求秩、解方程组

不用展开、不用配方、不用求特征值。凡题干长成 的，第一反应就是把三个括号里的系数抄成 的 ，然后算 。

三、“秩”的四种等价说法

定义标准形中非零平方项的个数的重数

含参求秩题的通用套路：先写 （或 ），令相应行列式为 0 解出参数，再回代验证秩确实降到要求的那个数——因为 只保证秩 ，不保证秩恰好等于题目要的值。

必考

880 第十五章基础选择 4

原题

二次型 的规范形为（　）.

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

写出矩阵（交叉项系数对半分）：

第 2 行 第 1 行，第 3 行 第 1 行，故 。秩为 1 的二次型规范形只能是 或 ，再看 （即 ），正惯性指数为 1。

规范形 ，选 A。

另解（一眼配方，最快），验证： ✓

已经是一个完全平方，秩 1、正惯性指数 1，规范形 。

识别"整个二次型是一个完全平方"

特征是：平方项系数都是完全平方数，且交叉项系数等于对应两个根的乘积的 倍。这里 对应 ，而 、、，完全吻合。看出来就省掉整张矩阵。

880 第十五章基础解答 5

原题

设二次型 ．

（I）求 的解； （II）当 有非零解时，求正交变换 将 化为标准形； （III）求 的规范形．

解析

（I） 抄系数矩阵：

平方和为零 每个括号为零 。

  • ：， 只有零解， 仅有零解 ；
  • ：，第 3 行 = 第 1 行 第 2 行，。由 得
任意

（II） 由（I），有非零解即 。展开

不必硬算特征多项式：由（I）已知 ，故 ，。又 ，说明 是单重。再由 及剩下两个特征值……直接验证 ：

几何重数 ，故 。核对 ✓

的特征子空间：，基础解系 。施密特正交化：

单位化并拼装（ 与 自动正交，因为属于不同特征值）：

（III） 分两种情形（题目问的是” 的规范形”， 未固定，必须讨论）：

情形正/负惯性指数规范形
2
3

（ 是因为 本身是平方和，恒 。）

这道题把"平方和型四件事"用了三次

（I）用 ；（II）用 免去特征多项式，用 免去判重数；（III）用半正定直接断定 。全程没有展开过任何一个括号去凑配方——展开只发生在需要写出 的那一步。

880 第十五章综合解答 7

原题

设 是 3 阶矩阵，方程组 的通解为 ，其中 ， 为任意常数．

（I）求 ； （II）若 的列向量组的极大线性无关组为 ，求一个 3 维行向量 ，使得 ； （III）记 ，求方程 的全部解．

解析

（I） 通解含两个自由参数 。

设 的第 行为行向量 。由 、 得每一行都满足

于是 。再用 ，注意 ：

记 ，则

（II） 的列向量都是 的倍数，极大无关组就是 （与题设一致）。由 ：

（III） 关键一步——把二次型还原成完全平方：

故 ，全部解为

任意

三问其实是同一个 的三次亮相

一旦写出，（II）（III）都只是它的直接推论。而（III）的答案恰好是（I）里那个导出组的通解——这不是巧合： 与 同时为零，对秩 1 半正定阵，。

的解集不一定是 的解集

上面那个""用到了 半正定。若 不定（有正有负特征值）， 是一张锥面，远大于 这个子空间。例：， 给出两条直线 ，而 只有原点。详见 二次曲面的分类。

1000 基础第 6 章 3

原题

已知二次型 的秩为 2，则 ____．

解析

：

回代验证秩确实是 2： 时 ，第 1 行 第 2 行 第 3 行，而前两行显然无关，故 ✓

" "只保证秩

本题只有一个参数、答案唯一，回代验证是形式上的。但一旦参数解出多个值，必须逐个回代——常有某个根让秩掉到 1。下一题就是这种结构。

1000 基础第 6 章 6

原题

设 ．求：

（1）方程 的解； （2）二次型 的规范形．

解析

（1）

  • ：， 只有零解， 仅有 ；
  • ：，回代阶梯形 ：

取 得基础解系 ，故 的解为 （ 任意）。

（2） 是平方和 ，：

情形规范形
2
3

阶梯化比展开行列式更划算

这里的 若硬展开 3 阶行列式，会得到含 的式子再化简；而两步行变换就把它变成上三角， 是对角线乘积，顺带把解方程组要用的阶梯形也算完了。含参平方和型一律这么做。

1000 强化第 9 章 6

原题

设 为一组不全为零的实数，则二次型 的规范形为 ____．

解析

把求和拆成两个独立求和：

由 知这是一个非退化的完全平方，、、：

规范形为

另解（矩阵视角）

的矩阵是 ，秩 1 阵，特征值为 与 。正惯性指数 1、负惯性指数 0，规范形 。

与第14章直接接轨

在第14章是”秩 1 矩阵的谱”的主角，特征值 与 （ 重）。在本章它换了个身份：最简单的半正定矩阵。凡看到 、、，立刻标记”半正定，“。参见 第14章 秩1与结构型矩阵的谱。

1000 强化第 9 章 8

原题

二次型 的秩为 ____．

解析

观察到 ，故 ；而前三行显然线性无关（阶梯形），所以

另解（行列式 + 循环结构）

，其中 是 4 阶循环移位阵。 的特征值是 4 次单位根 ，故 的特征值为 ，含一个 且只有一个，秩 3。

对照：同一族里 与 的差别是致命的

把加号全换成减号：，此时 给出 ，秩也是 3。

但奇数项时结论翻转：3 元的 秩为 2，而 秩为 3（正定！）。符号交替能否闭合，取决于项数奇偶。这一族题在 正定的判定 里正面考。

1000 强化第 9 章 9

原题

已知二次型 的秩为 2，则 的通解为 ____．

解析

第 3 行、第 3 列已经独立出来且 贡献秩 1，故要 必须左上 块的秩为 1：

回代： 时左上块为 ，秩恰为 1 ✓（若它变成零块秩就掉到 1 了，这里没有）。此时，这是平方和（正系数），故 且 ：

任意

"秩为 2"这类条件先看有没有能拆出来的块

是分块对角 ，秩天然可加：。先拆块再定参，比整体展开 3 阶行列式快得多，也不会漏掉”块退化成零”的边界情形。

1000 强化第 9 章 12（第 1 问）

原题

设二次型 ，其中 ．

（1）用正交变换 将其化为标准形，并求出 ； （2）求 的最大值，并求出一个最大值点（）．

解析（第 1 问；第 2 问见 二次型的最值）

第一步是全题的胜负手：对称化。 记 为题给矩阵，

这是秩 1 阵 ，。于是特征值直接读出：

  • ：特征向量 ，单位化 ；
  • ：解 ，即 ，基础解系 。施密特：

另解（完全跳过特征值）

对称化后 ，于是

令 （即 ），。标准形一行写完， 只是把 补成正交阵而已。

不对称化就求 的特征值——本题的头号陷阱

自己的特征多项式是 ，与 的谱 毫无关系。唯一相同的只有迹（），这恰恰是最容易让人误以为”没问题”的巧合。凡是题目把矩阵写得不对称，一定是故意的。

这个 在第14章出现过

正是第14章 880 基础解答 6 里的 、也是 1000 基础 5-23 反求出的 。三道题、三本书、同一个矩阵：一次问它的谱，一次反向构造它，这里则给它套了个不对称的马甲。见 第14章 由谱反求矩阵。

拓展

880 第十五章综合选择 9

原题

设 ，若二次型 经可逆线性变换 化为 ，则（　）.

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

可逆线性变换保持秩与正负惯性指数（惯性定理），所以只要把 和 的这两个量对齐。

一眼是完全平方：， 时 ； 时 ， 时 。

是平方和型，系数矩阵

且

秩对齐：。

惯性指数对齐： 半正定给出 ，故 也必须 ，即 。

选 A。

不能只靠"秩相等"得到

若只对齐秩，B 选项（）会因为 、秩为 2 而被排除，但 C、D 的 也允许 。必须动用” 是平方和 负惯性指数为 0”这一条，才能卡死 。这就是把平方和型的”半正定”标记出来的价值。

是内积记号，别当成向量组

。题目故意用内积写法，本质仍是 。

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