考研笔记

极大无关组、秩与满秩分解

🏠 第12章概念导航 · 向量题库

方法模板

核心工具:初等行变换不改变列向量之间的线性关系。

把向量按列排成矩阵 ,做初等行变换化到行最简形 ,则:

  1. 的主元所在列对应的原向量构成一个极大线性无关组;
  2. 非主元列在 中的那一列数字,直接就是该向量由极大无关组表示的系数;
  3. 主元个数 向量组的秩。

必须化到行最简形(主元为 、主元上下全零),第 2 条才能”直接读”;只化到阶梯形还要回代。

为什么合法:行变换相当于左乘可逆矩阵 , 的列是 的列经同一个可逆变换所得,而可逆变换保持线性关系。详见 行变换下列相关性的不变性。 反过来,列变换会打乱列之间的关系,判断列向量组时绝对不能用。

满秩分解

设 。取极大无关组拼成 (,列满秩),把行最简形中非零的前 行取出作为 (,行满秩),则，道理就是第 2 条: 的第 列正是 用极大无关组表示的系数。 从原矩阵取列, 从行最简形取行——两边取自不同的矩阵,这是最容易搞混的一点。

等价标准形

要把 化成指定的 :先用行变换()把能消的消掉,再用列变换()清理剩下的。 是所用行变换对应初等矩阵之积, 是列变换之积。记录每一步做了什么,比事后反推快得多。

必考

880 第12章基础解答 2

原题

设向量组 ,求 的一个极大线性无关组,并将其余向量用极大线性无关组线性表示。

解析

按列排开,行变换到行最简形:

主元在第 列,,故极大无关组为

第 列直接读系数:

回验: ✓; ✓

交换行不影响结论

第一步交换 只是为了让主元不为零,不改变列之间的关系。但如果一时手滑交换了列,极大无关组的编号就全乱了。行随便换,列一根不动。

880 第12章综合解答 5

原题

设矩阵 的秩为 。

(Ⅰ) 求 的值; (Ⅱ) 求 的列向量组的一个极大线性无关组 ,并求矩阵 ,使得 ,其中 。

解析

(Ⅰ)

,

(Ⅱ) 代 继续化到行最简形:

主元在第 列,极大无关组， 取行最简形的前 行:

验算 :

满秩分解的读法: 的第 列 说明 ,第 列 说明 。 就是”每个列向量的表示系数表”,和上一题”直接读系数”是同一件事,只是打包成了矩阵。

880 第12章综合解答 1

原题

设 ,。求:

（Ⅰ）向量组 的一个极大线性无关组; （Ⅱ）可逆矩阵 ,使得 。

解析

（Ⅰ）行变换,并把每一步记下来(第（Ⅱ）问要用):

主元在第 列,,极大无关组

且

（Ⅱ） 上面三步行变换对应的初等矩阵之积就是 :

此时 ,只差把右上角的 清掉——这需要列变换:第 列加到第 列,对应

验算: 的第三行 ✓;右乘 把第 列换成”原第 列 原第 列” ✓ 得到 。

都是单位三角矩阵,,可逆 ✓

边做边记,不要事后反推

是行变换的乘积(先做的在最右,贴着 ), 是列变换的乘积(先做的在最左,贴着 )。做题时在草稿纸上按顺序写下每一步,最后按位置串起来,比化完再回想省一半时间。注意本题的 不是标准形 ,所以不能把主元也化成 。

1000题强化篇第6章 4

原题

已知 ,则 （ ）。

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

不要解方程,按列读。 记左端为 、右端第一个因子为 ,则 意味着

的第列的第列的分量作系数对的组合

逐列对照 :

  • 第 1 列 的第 1 列 ;
  • 第 2 列 的第 2 列 ;
  • 第 3 列 的第 3 列 。

这正是满秩分解 的 : 的秩为 , 是它的极大无关组, 就是表示系数表。看到""且 列满秩,一律按列读系数,不要展开做乘法。

拓展

1000题强化篇第6章 2

原题

设 可经初等列变换化成 ,则 的取值范围为（ ）。

A. 　　B. C. 　　D.

解析

” 可经初等列变换化成 ” 存在可逆 使 与 的列向量组等价(张成同一个列空间)。对方阵,这等价于且的列都落在的列空间中，先算两个行列式。 是标准的”主对角 、其余 “型(第 10 章模板):， 直接展开:，分情况。

  • 且 ,即 :两者列空间都是 ,取 即可 ✓
  • :,两矩阵完全相同,取 ✓
  • : 而 , ✗
  • : 而 , ✗
且

是最容易误杀的一档

时两个行列式都为零,直觉上像是”退化情形要排除”,但此时 与 恰好相等,当然可以互化。候选参数必须逐个代回原矩阵看,不能只看行列式是否为零——选项 C 就是给”看到 就排除 “的人准备的。

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