考研笔记

向量组等价与秩的关系

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方法模板

定义:两个向量组互相可以线性表示,称为等价。等价是等价关系(自反、对称、传递),且，反之不成立——秩相等只说明”维数一样大”,不保证张成同一个空间。 与 秩都是 却不等价。这是本题型最大的坑。

判定等价的三条实用口径

  1. 秩判别法(最常用):

    把两组并排成一个矩阵算秩即可,不必真的求出表示式。

  2. 单向 + 秩相等:若 可由 表示且 ,则必等价。

  3. 无关 + 单向 + 个数相等:若 无关、可由 表示,且两组向量个数相同,则等价。

后两条是解答题的证明主线,都是”用秩把单向补成双向”。

几何捷径:先求张成空间的方程

若两组都是 中秩为 的向量组,它们等价 张成同一个平面。求出 张成平面的方程 ( 由叉积或解齐次方程得到),再把 的每个向量代进去,含参的直接解出参数。这比做增广矩阵消元快得多,是含参等价题的首选。

表示的方向由秩决定: 时 不可能由 表示。先比秩再谈表示。

必考

880 第12章基础解答 6

原题

设向量组 线性无关,且可由向量组 线性表示,证明:这两个向量组等价。

解析

由”可由 表示”写成矩阵形式:存在 阶方阵 使，用秩把 逼成可逆的:，故 ,即 可逆。于是，即 组也可由 组表示。两组互相表示,故等价。

"个数相同"是这条证明的命门

只有 是方阵时,“满秩 可逆”才成立。若 组个数多于 组, 是长方阵,列满秩推不出可逆,结论也确实不成立(例如 可由 表示,但两组不等价)。

880 第12章基础解答 7

原题

设向量组 (Ⅰ) ,(Ⅱ) ,,且向量组 (Ⅰ) 可由 (Ⅱ) 线性表示。证明:向量组 (Ⅰ) 与 (Ⅱ) 等价。

解析

记 。

第一步:并组的秩。 (Ⅰ) 可由 (Ⅱ) 表示,故把 (Ⅰ) 添进 (Ⅱ) 不增加秩:，第二步:反向表示。 取 (Ⅰ) 的一个极大无关组,它含 个向量,且是 中的一个无关组;由 知它也是 的极大无关组。于是 中每个向量都能由它表示,从而能由 (Ⅰ) 表示。

两组互相表示,等价。

这条比上一题更一般:不要求两组个数相同,也不要求任一组无关,只要单向表示 + 秩相等。它就是方法模板里的第 2 条口径,解答题里出现频率最高。

880 第12章基础解答 4

原题

设向量组 与向量组 有相同的秩,且 可由 线性表示,求 的值。

解析

第一步:摸清 组。

,且 (核对: ✓)。所以 。

第二步:用” 可表示”定 。 解 :

第三步:用”秩相同”定 。 要求 ,即 :

再确认秩恰为 而非更低: 与 显然不成比例,故 ,结合 得 ✓

两个条件各管一个参数

” 可表示”是关于 的方程,“秩相同”是关于 的方程,互不干扰。看到两个参数两个条件,先判断哪个条件只含哪个参数,能省掉联立。

1000题基础篇第3章 12

原题

已知向量组 与向量组 等价,则 的值分别为（ ）。

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

用几何捷径。 先看 组:,故 , 是一个平面。

求这个平面的方程。 法向量 :

所以平面是，(核对: 各分量和 ✓,: ✓)

等价 组也张成这个平面,即每个 的分量和为零:

无条件

再验 : 与 不成比例 ✓

为什么这条捷径可靠:两组秩都是 、都落在同一平面内 并组的秩仍是 按秩判别法即等价。只要两组秩相同且落在同一个张成空间里,等价立刻成立,不必写增广矩阵。

1000题强化篇第6章 5

原题

设 ;。问 为何值时向量组 与 等价?当等价时,求 由 的线性表示式及 由 的线性表示式。

解析

第一步:摸清 组。 ,故 。

平面方程:法向量 ,所以即，(核对 : ✓)

第二步:把 逐个代进平面方程。

再验 :此时 、 不成比例,且三者都在平面内,故 ✓

第三步:两个表示式。 注意 ,直接读出即，因 组相关(),表示不唯一,通解为任意，反向:解 。逐分量

由第一式 ;代入第二式得 ,即 ;代入第三式 恒成立。故 自由:

任意

取 即 ,与第三步开头一致 ✓

秩为 2 的等价题一律先求平面方程

本题若老实做两次增广矩阵消元(还带三个参数),计算量是这条路的三四倍。” 中秩 2 的两组等价 共面”,三次代入就把三个参数全解出来了。

拓展

880 第12章综合选择 3

原题

设向量 满足 , 为常数,且 ,则（ ）。

A. 与 等价 B. 与 等价 C. 与 等价 D. 与 等价

解析

条件只给了两件事:

可由表示 可由表示

注意 允许为零,所以关于 的反向表示无从谈起——这是全题的判别关键。

验 C: 需要 可由 表示 ✓(); 需要 可由 表示 ✓()。双向成立,C ✓

排除其余(统一取反例 ,即 ,而 与 无关):

  • A: 与 成比例,确实等价——但若 就未必,不是”一定”。✗
  • B:需 可由 表示,反例中不成立。✗
  • D:需 可由 表示,同样不成立。✗

题眼: 只保证 与 可以互相顶替,而 始终是”不可动”的那一个。四个选项里唯一让 两边都在的就是 C。 看到这类题,先找出哪个向量的系数没被保证非零,答案一定是把它固定住的那个选项。

880 第12章基础解答 8

原题

设向量组 (Ⅰ) ,(Ⅱ) ,(Ⅲ) ,且 ,,证明:向量组 的秩为 。

解析

先把三个条件翻译成三句话:

  • 线性无关;

  • 添上 不涨秩 可由 表示,设

  • 线性无关。

设，代入 的表示式并按 整理:，由 无关,四个系数全为零。先由最后一项得 ,再依次得 。

故 线性无关,秩为 。

三个秩条件,三句话,一个都不多余

提供 的表示式(用来代换), 提供做判断的无关基底, 保证前三个可以当基底用。读秩条件时,把每一个都写成”谁能被谁表示 / 谁无关”再动笔。

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