考研笔记

同解方程组与解集包含

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核心判据(齐次情形)

对齐次方程组 与 ( 列数相同都是 ):

的解都是的解 两者同解

摞起来的矩阵 是这一节的万能工具:它的解空间就是两个解空间的交,秩不涨就说明没添新约束。

三条实战捷径

  1. “加方程”只会缩小解集。 在 上添一个方程得 ,则 自动成立。要它们同解,只需验 的基础解系满足新方程——一步到位,不必算秩。
  2. “包含 + 维数相等 相等”。 已经证出 时,再比一次 :相等就同解, 那边更大就是真包含(即”不同解”)。这把”不同解”的判定化成了一个秩条件。
  3. 非齐次版本: 的解都是 的解,只需验 的通解(一个特解 + 全部基础解系)逐个满足 ——特解那次右端是 ,基础解系那几次右端是 。

同解 系数矩阵行等价

两个方程组同解只要求解集相同, 与 的行数可以不同、形状可以不同。它们只保证行空间相同(从而 ),不保证能互相行变换得到(行数不同时根本谈不上)。

"不同解"该怎么卡

考场上”证包含 + 求参数使不同解”是标准双问结构。第二问几乎总是转化为:让 那边的秩掉下来,使 。所以直接对 消元、令某个主元为零即可。

必考

880 第十三章基础解答 5

原题 设有方程组

①②

(Ⅰ) 求方程组 ① 的通解;(Ⅱ) 当 为何值时,方程组 ① 与 ② 同解.

解析

(Ⅰ) 解 ①。

①

①①,,自由变量 。

由第三行 ;第二行 ;第一行 。取 与 :

(Ⅱ) 同解条件。

两个方程组的系数矩阵都是 。思路:先逼 ① 的解全是 ② 的解(这给出 ),再验维数相等。

把 和 分别代入 ② 的三个方程。 是齐次解,代进去右端应得 0; 是特解,右端应得 ② 的常数项。

② 的第一式 :

② 的第二式 :

② 的第三式 :

对任何都成立

收尾:验维数。 取 后

②

是行阶梯形,三个主元,②,故 ②①。又已证 ① 的解全是 ② 的解,且两者都相容,解集维数相同 + 包含 相等。

"特解代一次、基础解系代一次" 是白送的双重验算

每个方程都被代了两遍,而两遍给出的 (或 )必须一致。这里 从 得 2、从 也得 2,自动确认没算错。如果两遍结果打架,说明 (Ⅰ) 的通解算错了,回头查,别硬凑。

光有"① 的解都是 ② 的解"还不够

那只给出 ①②。若 ② 的秩掉到 2,解集就是 2 维,严格包含 ①,不是同解。所以最后那步"②"的检查不能省——本题恰好正常,但出题人完全可以在这里埋雷。

1000题基础篇 第4章 14

原题 设齐次线性方程组 (I) 在 (I) 的基础上增添一个方程 得 (Ⅱ)。问 满足什么条件时,方程组 (I)、(Ⅱ) 是同解方程组?并求出此时方程组 (Ⅱ) 的通解.

解析

答案 ( 任意),通解 。

关键的一步是先想清楚”加方程”意味着什么: (Ⅱ) 比 (I) 多一个约束,所以 无条件成立。要同解,只需反向包含,即的每个解都满足新方程的基础解系满足新方程，于是全部工作就是:解出 (I) 的基础解系,代进去。

第一步:解 (I)。

,。由第三行 ;第二行 ;第一行 。取 :，验算: ✓; ✓; ✓。

第二步:让 满足新方程。， 不受任何限制——因为 的第四个分量是 0,新方程里 乘的那一项恒为零。

通解: 此时 (Ⅱ) 与 (I) 同解,

为任意常数

"加方程"型同解题一律走这条捷径

不必去算 那种秩条件(虽然它也对),直接”求基础解系 → 代入新方程”最快,而且答案自然写成 的线性关系。

自由的几何解释

同解条件说的是”新方程对应的行向量 落在 的行空间里”。 的行空间是 中的 3 维子空间,恰好由 刻画,即 ——这确实是个 3 维子空间, 自由、 被定死。“行空间 = 解空间的正交补” 这条对偶在第12章正交那里埋过伏笔,这里第一次真正用上。

880 第十三章综合解答 9

原题 设 ,,,.

(Ⅰ) 证明:方程组 的解均是方程组 的解;(Ⅱ) 若方程组 与方程组 不同解,求 的值.

解析

(Ⅰ) 先把 的解全部求出来,再逐个代入 。

,,自由变量 。由第三行 ;第二行 ;第一行 。

代入 。 只需验两件事: 且 。

第三个分量里 自动抵消,对一切 成立。于是对任意 ,，即 的解全是 的解。

(Ⅱ) 何时”不同解”。

由 (Ⅰ) 已有包含关系,两者不同解 的解集严格更大 。

对 消元:

第三行为 ,当且仅当 时全为零。故

此时 ,解集严格包含 的解集,两者不同解。

第 (Ⅰ) 问不要去比秩

有人想证 ——对齐次可以,但这里是非齐次,还要处理右端。老老实实”求出通解 → 代 “,两次矩阵乘法就完事,而且第 (Ⅱ) 问要用的 也顺手拿到了。

参数 为什么在 (Ⅰ) 里消失了

因为 的第 3、4 分量是 和 ,而 的第三行在这两列上是 和 ,乘出来 ,再加上前面的 恰好归零。这是出题人配好的:第 (Ⅰ) 问必须对一切 成立,第 (Ⅱ) 问的 才由别处(秩)决定。看到”证明题里参数自动消掉”就该意识到:参数的作用留在了下一问。

拓展

880 第十三章综合解答 8

原题 设 ,.

(Ⅰ) 若方程组 的解均是 的解,但这两个方程组不同解,求 的值; (Ⅱ) 若方程组 与 有非零公共解,求 的值,并求全部非零公共解.

解析

先把两边的解空间都摸清楚。

: ,,两行永远不成比例,故 恒成立,。

由 得 ;由第一行 得 。取 :，: ,。

  • :此时 且 ,解空间 ;
  • :仅一个方程 ,解空间 。

(Ⅰ) 要 。,真包含就要求 ,即 。

再要 满足 :

(Ⅱ) 要存在非零公共解。 只有 1 维,由 张成,所以

有非零公共解
  • 若 :,其中所有向量第 3 分量为 0,而 的第 3 分量是 ,不可能;
  • 故必有 ,再由 满足 得 (同 (Ⅰ))。

此时 ,全部非零公共解为，验算: ✓; ✓。

两问答案相同,这不是巧合

因为 ,“有非零公共解”就等于"",也就等于"";而 在 能被容纳时必定是 2 维的(1 维那种容不下 ),自动就”不同解”了。当一方的解空间只有 1 维时,“有公共解""被包含""真包含”三件事会塌缩成同一件。 遇到答案重复不要怀疑自己,先数一下维数。

不是

题目给的是 (),方程组用的是 ()。转置这一下最容易看漏,一旦漏了列数就对不上( 的 是 2 维,和 的 3 维根本不能比较)。读题先对列数:能谈公共解的前提是未知数个数相同。

880 第十三章综合解答 10

原题 设矩阵 不可逆,。已知方程组 的解均是 的解.

(Ⅰ) 求 的值;(Ⅱ) 求可逆矩阵 ,使得 .

解析

(Ⅰ) 先用”不可逆”缩小 。 按第二行展开(该行只有 一个非零元):

或 。逐个验第二个条件。

: ,,。

只有一个方程 ,解空间 2 维,含 。把它代进 得 ,矛盾。 舍。

: ,。

,,故 ,解空间 1 维。由 得 ,由 得 :，代入 :。

(Ⅱ) 对角化。。

特征值: 按第二行展开,

故 ,。

: 解 。由第二行 ;第一行 (第三行 一致)。，: 解 ,,,几何重数 = 代数重数,故 可对角化 ✓。方程为 :，组装:

, 可逆,且 。

验算: ✓; ✓。

这题是第13章通向第14章的桥

第 (Ⅰ) 问是纯粹的方程组语言(解集包含),第 (Ⅱ) 问已经完全是第14章的活。桥就是那句”特征向量 = 的非零解”:求特征向量的动作和本章求基础解系一模一样,只不过系数矩阵换成了 。所以第14章的计算量其实早在这一章就练熟了。

别忘了验"几何重数 = 代数重数"

是二重根,能不能对角化取决于 的解空间是不是真有 2 维。这里 给出 2 维,恰好够。如果只有 1 维, 就不可对角化,第 (Ⅱ) 问无解。 这一步的检查手段还是”数秩”,完全是本章的技能。

" 的解都是 的解" 的另一种读法

这句话等价于 ,即 落在 的行空间里,也就是 落在 的列空间里,即 有解。本题若从这个角度出发, 时 的列空间是 ,而 的第二分量是 1,永远进不去,同样一眼排除。两条路都熟,考场上挑顺手的。

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