解空间的维数与交

🏠 第13章概念导航

核心问题

两个方程组的公共解怎么找?什么时候必然存在非零公共解,什么时候只能靠算?

核心定义 / 定理 / 结论

公共解 = 解空间的交

把两组方程摞起来,就是取交。 这是一切公共解问题的统一入口。

维数公式与下界

对 ,，于是

维数和严格大于 就必有非零公共解,一个字不用算。 反过来,维数和 时不能断言交为零——要么老实算,要么找反例。

三种题型对应三条路

题目给的是	用哪条路
两组的方程	联立法:摞成 直接解
一方给方程、一方给基础解系	代入法:把解系那方的通解 代进方程那方,解出 的约束
双方都给基础解系	待定系数法:解 ,即求 的零空间

代入法的方向:永远拿”解系”那一方去代”方程”那一方,反过来做不出来( 不唯一)。

存在性的行列式判据

双解系情形下,若 恰好临界,则

含参题的参数通常就卡在这个行列式上。

典型题型

• 联立求公共解:两组方程都给全 → 880 基础解答 3
• 代入求公共解:一方只给基础解系 → 880 基础解答 4
• 含参:何时没有非零公共解:把 的系数整理成含参表达式,提出公因子 → 1000 强化 5
• 双解系求 与全部公共解: 定参数,再解零空间,两边互相验算 → 1000 强化 6
• 抽象型:由 推出维数下界,判断有无公共解 → 抽象分块方程组

图示 / 直觉

在 里:两个 2 维子空间(过原点的平面)的维数和是 4 > 3,必定交于一条直线——两张过原点的平面不可能只共一点。

   平面 V₁ ╲   ╱ 平面 V₂
            ╲ ╱
      -------X-------  交线(1 维)
            ╱ ╲

在 里两个 2 维子空间维数和恰是 4,可能交于一条线,也可能只交于原点(如 与 )。这就是”临界情形要算”的几何来源。

常见误用

维数和 时误判"必有公共解"

下界公式是单向的。维数和等于 时两种情况都可能,必须算行列式或找反例。

忘了检验 本身线性无关

代入法解出 只能推出 ,前提是 无关。题目说”基础解系”就默认了;若只说”两个解”,要先验。

双解系型的符号翻车

里 那几列带负号,读出来的是 而不是 。算完两边各代一次,对上了才算完。

"非零公共解"写成 时漏掉

题目问非零公共解,答案要注明 。

与旧知识的连接

• 向量组等价与秩(第12章):公共解就是两个张成空间的交;等价则是两个张成空间相等。
• 分块矩阵的秩(第11章): 直接控制交的维数,。
• 线性相关性判定(第12章):双解系型归结为 个向量是否相关。
• 3b1b:非方阵与维度映射:摞矩阵 = 同时施加两组约束,约束越多零空间越小。

题型训练

• 两个方程组的公共解(4 题)
• 同解方程组与解集包含(5 题)
• 抽象分块方程组的同解判定(6 题)

链接

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• 同章概念:同解、行空间与正交补 · 方程组解的结构
• 易错清单:第13章易错点