矩阵的行向量组与列向量组

核心问题

同一个矩阵有行和列两副面孔,不同的运算改变的是不同的那一副。分不清题目在问行还是列,这一类选择题就只能靠猜。

乘法对两副面孔的作用(三条口径)

可 逆 行 向 量 组 等 价

可 逆 列 向 量 组 等 价

只 保 证 矩 阵 等 价 同 型 同 秩

左 乘 保 行 右 乘 保 列 两 边 都 乘 只 保 秩 。

这里的“左乘保行”必须说完整。设

可 逆

左乘保证与的行向量组等价，但一般不保证二者的列向量组等价，因为未必等于。不过，对任意一组系数，都有

因此，左乘可逆矩阵虽然未必保持列向量组等价，却会保持列向量之间的全部线性关系及其系数。特别地：

这正是上一节求极大线性无关组时可以放心对矩阵做初等行变换、再按原列编号选取极大无关组的依据。

“向量组等价”与“对应向量的线性关系不变”不是一回事

设两组向量分别为与。

向量组等价：两组可以相互线性表示，即

它只强调两组向量张成的空间相同，不要求对应向量使用相同的关系系数。

对应向量的线性关系不变：对任意，都有

它强调相同编号的向量具有完全相同的线性关系，因此会保持每个对应子组的相关性、极大无关组的编号以及表示系数。

两者互不等价。例如，在中，与都线性无关，因而对应关系结构相同，但张成空间不同，不是等价向量组；而与张成空间相同，却不具有相同的关系系数。

作用在向量组上:记、,则

无 关 无 关

反向不成立—— 只会压缩不会展开( 是极端反例)。只有 列满秩时两者相关性才一致。

行管零空间,列管像空间

的 行 空 间 与 同 解 行 向 量 组 等 价

可 由 的 列 表 示 的 列 空 间

列满秩带来的左消去律:( 为 )时存在使 ,于是。结合得 $与行向量组等价$ ，行列式桥: 阶方阵的列向量组相关 ;由立刻得到

的 列 相 关 或 的 列 相 关 或 的 列 相 关

线性映射由基上的像唯一确定:已知在一组基上的像,任何向量的像就是。求不必求出 ,把在基下展开,系数照搬到像上即可。

尺寸筛查:向量组等价的隐含前提是同维。比较与的列( 维 vs 维)时, 就根本谈不上等价——这个筛子能在十秒内砍掉一半选项。

把看成线性映射。

行 定 零 空 间 列 定 像 空 间

三条乘法口径也随之透明:

**” 只压不展”**也是同一幅图:,像的维数不会超过原像的维数。