考研笔记

抽象方程组的秩词典

🏠 第13章概念导航

核心问题

题目一个数字都不给,只给 、、 这类条件,怎么下手?

答案:把每句话翻译成关于秩的不等式,夹出确切的秩,再换算成解空间维数。

核心定义 / 定理 / 结论

翻译词典

题面说翻译成
只有零解( = 列数)
的基础解系有 个向量
有 个线性无关的解
的列都是 的解;
; 行满秩、 列满秩
对一切 ,即
$A
(全部),$AA^{\mathrm T}=
且 可逆

伴随矩阵三分法

配套恒等式 。当 时它说的是 ,即

的列向量都是 的解。

这是”求 的基础解系”的唯一入口: 时 ,而 恰好指出 的哪 列线性无关(去掉第 列)。

对偶地, 说明 的列都是 的解; 时 一维,故 的每一列都是 基础解系的倍数。

秩的乘法上界

对 :乘积是 阶方阵但秩 。所以 时 必不可逆; 时什么都断言不了(可以满秩,也可以为零)。

上界给候选,代回消元给答案。 从 只能得到 ,具体是几还得算。

行满秩 / 列满秩分工

行满秩行数恒有解列满秩列数至多一解

两者同时成立才是可逆(方阵)。 型条件的标准用法就是先判出谁行满秩、谁列满秩。

分块方程组的规则

且
  • 左乘可逆矩阵不改解集(),右乘则换坐标;
  • 能被别的条件推出的方程可以删(如已有 时, 是废话);
  • 必有非零公共解。

典型题型

  • 恒成立 基础解系个数 → 880 基础选择 3
  • 求 的基础解系 → 880 基础解答 6 / 1000 强化 1
  • 给 求 :走 与 → 1000 强化 2
  • 的秩判断 → 880 基础选择 5
  • 判四个方程组 → 880 基础选择 6
  • 反求参数再定维数 → 1000 基础 17
  • 多项式恒等式 可逆 只有零解 → 1000 强化 9

图示 / 直觉

把 想成”压扁机”: 是压完还剩几维, 是压掉了几维(零空间)。

  • : 先把空间映到某处, 再把那处全压成零 的像必须整个装进 的零空间 。
  • :信息从 挤过 这个瓶颈再回到 。瓶颈比出口窄()必然丢信息,乘积不可能满秩。
  • 时 : “只塌了一维”,伴随矩阵就只剩一维的信息——两者的秩是互补的极端。

常见误用

"对任意 成立"不去取特殊值

见到 对一切 成立,立刻取 得 。“任意”是用来取特殊值的,别当抽象条件供着。

从 跳到

只给 , 完全可以非零。

指数是 。写错这一个数,后面全崩。

是代数余子式矩阵的转置

。所以 推出的是 而非 。

把上界当等号

不是 。 后还要代回具体矩阵确定 到底是几。

齐次组说"有唯一解"

齐次组永远有零解,这句话的意思是”只有零解”。

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