考研笔记

由矩阵多项式求行列式:特征值桥

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核心问题

题目问 、、,而 本身根本没给出来,只给了几个条件。为什么这类题总能做出来?因为行列式只依赖特征值,而条件恰好足以定出全部特征值。

核心定义 / 定理 / 结论

主定理:设 阶方阵 的全部特征值(计重数,允许复数)为 , 为任意多项式,则

这条对任意方阵成立,不要求 可对角化。 理由:由 Schur 定理存在酉阵 使 上三角、对角为 ;则 仍上三角、对角为 ,行列式即对角元之积。

特例:,,。

怎么拿到特征值——两个入口

入口一(定值型): 是 的特征值。 若题目给出 个这样的等式且 互不相同, 阶矩阵的特征值就全齐了。 统一写法:先把条件整理成 的形状再读 。 化为 ,给出的是 。

入口二(方程型): 每个特征值满足 。 例:;;。 这只给候选值,不给重数。 重数要靠额外信息补:

  • 已知 + 可对角化 ⟹ 非零特征值的个数 ;
  • 已知 ⟹ 用 定分配;
  • 已知 ⟹ 用 定最后一个。

先降次再代值:遇到 时,先用条件( 之类)把 化到最简,再上特征值。顺序反了会多算一大截。

其他常用路线

  • 两边取行列式:先把矩阵等式因式分解成乘积,再用 。约去某个行列式前必须验证它非零。
  • 逆的和变形:,。两式共享 。
  • 构造 :典型如 且 时 ,故为零。

典型题型

  • 给 个 ,求
  • 给 满足的多项式方程 + 秩或迹,求
  • 矩阵方程 型,求
  • 与 互推
  • 正交矩阵/幂等阵/对合阵的行列式与

图示 / 直觉

在特征基下, 就是把第 个方向拉伸 倍。多项式 作用后,第 个方向的拉伸倍数变成 。体积缩放因子 = 各方向拉伸倍数之积,这就是 。

不可对角化时,矩阵在某些方向上还带”剪切”,但剪切不改变体积(上三角的对角元决定行列式),所以公式照样成立——这正是它不需要可对角化前提的原因。

常见误用

  • 、。行列式对加减没有可分配性。
  • 读成特征值 。它给的是 。
  • 由 的根直接凑重数。候选值不等于实际特征值,更不等于重数。例: 只说明特征值在 中,具体几个 要看 。
  • 约掉可能为零的行列式。 两边取行列式后约 ,必须先验证 。
  • 先代特征值再降次。应当先用条件把 化简。

与旧知识的连接

  • 是”谱映射定理”的行列式版本,第 14 章讲相似对角化时会从另一侧再看一遍。
  • 与高数的连接:多项式的根与系数(韦达定理)在这里换了个身份——特征多项式 的系数就是 、各阶主子式之和、。
  • 判断可对角化、求重数,需要第 14 章 实对称矩阵的正交主轴 提供的”实对称必可对角化”。

题型训练

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