含参行列式作为多项式:次数、系数与零点

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当行列式的元素含变量 , 就是一个多项式。这类题从来不要求你把行列式展开完,只要求某个系数、次数或零点个数。抓住定义式:

每一项都是每行取一个、每列取一个的乘积。于是:

1. 求 的系数 → 枚举恰好用到 个含 位置的排列。先在矩阵里圈出所有含 的格子,再按”每行每列各一个”去数,通常只有一两种走法。别忘了每项前面的排列符号。
2. 求最高次数 → 圈出含 的格子后,看最多能选出几个互不同行同列的。
3. 求常数项 → 直接令 代入算数值行列式,比枚举快得多。
4. 判断零点/极值/拐点个数 → 先确定多项式次数,再用多项式的性质(或 Rolle 定理)数根,不要真的求导。
5. 每列都是”常数列 同一个列” → 用列多重线性拆开,含两个及以上 列的项因两列成比例而为零,于是 必是 的一次函数。这是一个能秒杀一整类题的结论,见 列多重线性与拆分。

排列符号的实用算法:把选中的位置写成 ,数逆序数或数对换次数,奇数次取 。只交换了一对行列时符号就是 。

必考

1000题基础篇第1章 3

原题

设

则 的展开式中 的系数与 的系数分别为（ ）。

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

先圈出含 的格子:， 系数:要选 4 个含 且两两不同行同列的格子。第 1 行只有 可选,占掉第 1 列;第 2 行剩 ;第 3 行只有 ;第 4 行剩 。走法唯一,即主对角线,排列为恒等排列,符号 :， 系数:恰好用 3 个含 格 1 个常数格。按”常数来自哪一行”分类:

• 常数来自第 1 行:则第 2、3、4 行全取 格。第 3 行必取 ;第 2 行取 或 ;第 4 行取 或 。
  • 第 2 行取 、第 4 行取 → 第 1 行只剩第 2 列,。乘积 ;排列 是一个对换,符号 ,贡献 。
  • 第 2 行取 、第 4 行取 → 第 1 行只剩第 4 列,。乘积 ;排列 是一个对换,符号 ,贡献 。
  • 第 2 行取 、第 4 行取 → 第 1 行只剩第 1 列,但 含 ,那是 4 个 ,不属于本情形。
• 常数来自第 2、3 或 4 行:此时另外三行都取 格,会强制把第 1、2、3 列或第 3、4 列占满,推下来该行剩下的唯一列恰好也是含 的格,矛盾。均无解。

选 。

选择题的省力打法

四个选项里 系数只有 两种。 项走法唯一、符号为正,先算 就能砍掉一半选项,再算 的符号即可。含参行列式的选择题优先算”走法唯一”的那个最高次。

880 第10章基础填空 6

原题

设

则 的系数为 ____。

解析

含 的格子:,,,,。

注意第 2、3、4 行各自只有一个 格,分别在第 2、3、4 列;第 1 行有两个,在第 1、2 列。

选 3 个 格 1 个常数格,按常数来自哪一行分类:

• 常数来自第 2 行:第 1、3、4 行取 格 → 第 3 行取 ,第 4 行取 ,第 1 行取 或 。
  • 第 1 行取 → 第 2 行只剩第 2 列,而 含 ,成了 4 个 ,不算。
  • 第 1 行取 → 第 2 行只剩第 1 列, 是常数 ✓。乘积 ;排列 为一次对换,符号 ,贡献 。
• 常数来自第 1 行( 或 ):则第 3 行需第 3 列、第 4 行需第 4 列,与第 1 行占用冲突。无解。
• 常数来自第 3 行或第 4 行:另外三行取 格后,该行剩下的唯一列正好是它自己的 格,矛盾。无解。

自查:总共只有一项贡献 ,这在” 格分布稀疏”的题里很常见。枚举完记得回头确认每一行都被讨论过,漏掉一行是本题型最常见的错误。

1000题基础篇第1章 4

原题

不恒为零的函数

（ ）。

A. 没有零点　　B. 至多有 1 个零点　　C. 恰有 2 个零点　　D. 恰有 3 个零点

解析

不要展开。每一列都形如 ,其中 对三列是同一个向量。按列多重线性把三列全部拆开,得 项,每项是从每列各取 或 之一:

• 取 个 :得 ,常数项。
• 取 个 :三项,每项形如 等,合起来是 的一次项。
• 取 个 :至少有两列都等于 ,两列成比例,行列式为零。

所以，是一次多项式(可能退化为常数)。题设 不恒为零,故 至多有 1 个零点(当 时恰有 1 个,当 时没有零点)。选 。

"每列同加一个 "⇒ 一次函数

这个结论对 阶都成立,一定要背:各列(或各行)同时加上 倍的同一个向量,行列式必是 的一次函数。它把一道看似 3 次的题压成 1 次。

880 第10章综合选择 3

原题

设

则曲线 在 内存在水平切线的条数为（ ）。

A. 1　　B. 2　　C. 3　　D. 4

解析

四行都是 的形状,节点依次为 。这是范德蒙德行列式:

即，一个三次多项式,三个互异实根 。

水平切线条数 在 内的根数。 在 与 上都满足 Rolle 定理条件(端点函数值均为 ),故 在 与 内各至少有一根;而 是二次多项式,至多两根。所以恰好两根,且都落在 内。

选 。

识别范德蒙德要看"形状"不看"位置"

本题的范德蒙德是按行排的 ,课本常写成按列。两者互为转置,行列式相同。乘积展开时节点顺序要和行顺序一致,写成 就不会错号。

拓展

1000题基础篇第1章 5

原题

若

则曲线 的拐点为（ ）。

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

拐点需要 ,所以必须知道三次和二次项。这里各列并非”同加 倍同一向量”(第一列是 不是 ),不能套一次函数结论,老实展开:

逐块化简:

相加:，,,且 在 两侧变号,拐点为 ,选 B。

另解(先定次数再猜形式):三次项系数由三条含 的对角走法给出,分别是 贡献 、 贡献 、 贡献 ,合计 ,首项系数为 。三次曲线的拐点横坐标是 ,只需再求 系数 即得 ,代回算 。这条路只需算两个系数,比全展开快。

880 第10章基础填空 2

原题

若

则 ____。

解析

令 换元,把三个 一次性消化掉:

因式分解: 是根,。

结构解释:该矩阵是 ,其中 。 的根就是 的特征值,答案出现二重根说明 有二重特征值——这一点在第 14 章会重新遇到,可以先留个印象。

链接

• 列多重线性:行列式的列多重线性与拆分
• 与特征值的关系:由矩阵多项式求行列式:特征值桥
• 易错清单:行列式的符号与结构陷阱