考研笔记

伴随矩阵与分块矩阵的行列式

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方法模板

一、伴随矩阵:一切从一条式子出发

由它派生出全部常用结论( 为 阶):

实战里最有用的是 :凡是表达式里同时出现 和 ,一律统一成 ,整个式子立刻塌缩成 的形状,再用 收尾。

的秩也要顺手记住:

二、分块行列式:只有四种要背

设各块均为 阶方阵:

即:“零块在角上是三角形,直接相乘;零块在对角上要换行,带 ”。

符号来源:把两组各 行整体对调,需要 次相邻行对换,符号 ;又因 ,写成 更好记。若两块阶数不同( 阶与 阶),符号是 。

必考

880 第10章综合选择 2

原题

设 是 3 阶方阵, 是 的伴随矩阵,,则 （ ）。

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

统一成 :

取行列式,注意 :

,别漏指数

若写成 ,就落到”没有的选项”上。每次提标量出行列式,先默念阶数。

880 第10章基础填空 10

原题

设 ,,其中 均为 阶方阵,则 ____。

解析

同样统一成逆:,。，(两项都化成了 的倍数,注意标量可以自由挪到最前面,不受矩阵不可交换的影响。)

整理成不含负号嵌套的形式:

自查: 时结果为 。此时 ,(一阶伴随规定为 ),原式 ✓。

880 第10章基础选择 3

原题

设 3 阶矩阵 满足 ,若 ,则 （ ）。

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析

第一步:把矩阵关系翻译成元素关系。 ,故 逐元素读作 ,即，第二步:用行展开搭一座桥。

由 知 ,特别地 可逆。

第三步:再取一次行列式定出 。 对 两边取行列式():，约去 得 。

第四步:合并两式。

这题的骨架值得单独记:凡是给出 ,标准动作就是”逐元素读出 → 行展开得 → 整体取行列式得 “。下面拓展题里的两道就是同一骨架的变体。

1000题强化篇第1章 3

原题

已知 3 阶矩阵 相似, 为 的两个特征值,行列式 ,则

解析

分块对角,直接相乘:原式 。

先补齐 的第三个特征值。 。而 ,故 。 的特征值为 。

第一块:，第二块: 是 3 阶,,于是

原式

不等于

正确关系是 ,于是 ,与上面一致。伴随对标量的指数是 不是 ,这是最常错的一处。

拓展

880 第10章综合填空 1

原题

设 均为 阶方阵,,,

则 ____。

解析

零块在右下角,属于”零块在对角上”的情形,套 。这里，分别算:

左上角的 完全不参与

只要有一个对角块是零块,另一个对角块(这里是 )对行列式没有任何贡献。看到 就想把它乘进去是最常见的误操作—— 在这题里只用来算 。

880 第10章拓展解答 2

原题

设 为 3 阶非零实矩阵,且 ( 为非零常数)。

(Ⅰ) 证明: 是可逆矩阵;

(Ⅱ) 求行列式 。

解析

(Ⅰ) 反证。设 ,则由 及 得， 的第 个主对角元为 。因 为实数,该和为零迫使第 行全为零;对 都成立即 ,与 非零矛盾。故 , 可逆。

(Ⅱ) 对 两边取行列式():，由 约去一个 :，于是

(Ⅰ) 里"实矩阵"是命门

只对实矩阵成立。复矩阵反例: 满足 但 。答题时务必写出”因 为实数”这句话,否则证明不完整。

880 第10章拓展解答 1

原题

设矩阵 为 3 阶非零实矩阵,,且 ,计算行列式 。

解析

第一步:定出 并识别 的类型。 这是上题 的特例,同样的论证给出 可逆且，再由 与 得，即 是行列式为 的 3 阶实正交矩阵。正交矩阵的特征值模长为 。

第二步:读出全部特征值。 是特征值; 是特征值。设第三个为 ,由

故特征值为 (几何上是绕某轴转 的旋转)。

第三步:用 。 取 :

为什么可以断定 而不是别的

仅靠 就能定出 ,不需要额外讨论。但要注意逻辑顺序:先用 推出 (而不是想当然地假设),再用特征值之积。若漏掉 这一步, 无法确定,整题就断了。

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