考研笔记

二次型的最值与瑞利商

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方法模板

一、核心不等式：瑞利商被谱夹住

设 为 阶实对称阵，特征值 。则对一切 ，

两端都能取到，取到时 是相应特征值的特征向量。

两行证明（考场上值得写出来）：取正交变换 ，则 ，于是，这是 的一个加权平均（权 ，和为 1），当然落在最小与最大之间；把全部权重压到某一个 上（即取 ）就取到端点。

二、常见题面与翻译表

题面翻译
时求 的最大值
对一切 ， 的最小 （谱半径）
对一切 ，全部 与 都正定
（ 正定） 的最大特征值（广义瑞利商）

三、最值点：不唯一，题目会加条件挑一个

是 重时，取到最大值的点是——整个特征子空间与单位球面的交， 时是一个 维球面，有无穷多个点。

题目里"求满足 的最大值点"就是来定位这一个点的

做法：先写出 的特征子空间的一般元素（含 个自由参数），再联立

  • 单位化条件 ，
  • 题目的附加条件（如 、）。

不要一上来就施密特正交化——求最值点只需要特征子空间本身，正交基是化标准形才需要的。

四、 的标准拆法

即 与 同时正定。转成特征值就是 对每个 。

必考

880 第十五章综合解答 9（第 II 问）

原题（承接 第 I 问，已求得 ）

已知二次型 经过可逆线性变换 化为 ．

（II）设 ，当 时，求 的最大值，并求满足 的最大值点．

解析

由第 I 问 ，

求谱：第 2 行第 2 列独立出来给 ；剩下的 （第 1、3 行列）谱为 。故

谱 时

求最大值点：解 ，

自由

特征子空间 ，一般元素，加上两个条件：

最大值点

验证

是二重，所以最大值点有无穷多个

单位球面上使 的点构成一整条圆周 。题目补的""正是从这条圆周上挑出唯一一点。

若答成 （也是最大值点，但不满足 ），就没有回应题目的要求。最值点题一定要把附加条件用完。

1000 基础第 6 章 16

原题

设 3 阶实对称矩阵 的各行元素之和均为 2，其主对角线元素之和为 5，，则二次型 满足条件 的最大值为（　）.

(A) 　　(B) 　　(C) 2　　(D) 3

解析

三个条件恰好给出三个特征值：

条件读出的特征值
各行元素之和均为 2 （特征向量 ）
（且只有一个零特征值，因为秩恰为 2）
谱

单位球面上 ，选 (D)。

"各行元素之和为 "是一句伪装成算术的特征值条件

是特征值，是特征向量

同一族的伪装还有：

  • “各列元素之和为 ” 是 的、因而也是 的特征值（谱相同）；
  • ” 有非零解” ；
  • "" 的几何重数是 （实对称时代数重数也是 ）。

见 第14章 特征向量判定与组合。

干扰项 (A)(B) 是"求成了 或倒数"

、 分别是 与 。单位球面上二次型的最大值就是 本身，不取倒数、不除以任何东西——瑞利商的分母 已经被条件 消掉了。

1000 基础第 6 章 23

原题

（1）设二次型 ，用正交变换 将其化为标准形，并写出 ； （2）求函数 的最大值，并求出一个最大值点．

解析

（1） 第 2 行第 2 列独立，给 （特征向量 ）；第 1、3 行列的块 谱为 。

谱
  • ： 即 ，基础解系 ——恰好已经正交，不必施密特；
  • ：，得 。

（2） 正是 的瑞利商：

最大值点： 的任一非零特征向量，例如 。

验证： ✓（取 也可： ✓）

反序单位阵 的谱可以背下来

它满足 且 ，所以特征值只能是 。 阶反序单位阵的谱：

有个（对称向量）有个（反对称向量）

： 个 、 个 ✓；：各 2 个（正是 1000 基础 6-8 那道题）。

1000 强化第 9 章 12（第 2 问）

原题（承接 第 1 问）

设二次型 ．

（2）求 的最大值，并求出一个最大值点（）．

解析

由第 1 问：对称化后

谱为 （一重）与 。

最大值点或其任意非零倍数

验证

另解（不碰特征值，直接用柯西—施瓦茨）

等号成立当且仅当 。一行给出最大值与全部最大值点。

先对称化，再谈最值

若直接对不对称的 求”特征值”，会得到与 毫无关系的一组数。瑞利商定理的前提是 实对称——非对称矩阵的 其实等于 （ 为 的对称化），所以答案只由 决定， 的谱完全是无关信息。

秩 1 半正定阵的最值题都能用柯西—施瓦茨秒杀

型，，最大值点就是 方向。不需要求特征向量、不需要施密特——这是本章”结构识别优先于流程”的典型例子。

880 第十五章综合填空 3

原题

设 3 阶实对称矩阵 的特征值为 ， 是 的伴随矩阵．若对任意 3 维实列向量 ，都有 ，则 的最小取值为 ____．

解析

第一步：把两个二次型合成一个。，第二步：求 的谱。 ， 的特征值为 ，且与 共用特征向量，所以 的特征值就是逐个相减：

（）（）差
谱

第三步：用瑞利商。 实对称，，两端可达。所以 对一切 成立当且仅当

"最小的 "就是谱半径

注意取的是绝对值的最大，不是最大特征值。本题三个特征值都是正的，两者恰好相同；若谱是 ，答案仍是 10，但它来自 。

做题顺序：先把差、和、多项式统统合并成一个矩阵，再求那一个矩阵的谱——绝不要分别估计两项再相加（会得到不紧的界）。

与 必须共用特征向量，"逐个相减"才合法

一般两个矩阵 的特征值不能相减得到 的特征值。这里合法是因为 是 的有理式，特征向量完全继承。

判别口诀：能写成 的多项式或有理式的矩阵（），都与 共谱向量，可以在同一个 下逐位运算。见 第14章 特征值的基本性质与多项式变换。

拓展

880 第十五章综合选择 8

原题

设实矩阵 ，若对任意的 2 维非零实列向量 ，都有 ，则 的取值范围为（　）.

A. 　B. 　C. 　D.

解析

时 ，绝对值可去。条件化为，即且，两个矩阵同时正定（ 对称， 也对称）。

两条都给 。

（ 已蕴含 。）

取交集：

选 A。

端点为什么开而不闭

选项 D 把右端点闭上了。 时 只是半正定：取 得 ，即 ，严格不等号不成立。

一般规律：题面是严格不等号（）就要求正定（开区间）；是 才允许半正定（闭区间）。两个符号差一笔，端点开闭就翻转。

的谱语言

这个条件等价于 的全部特征值落在 内。本题也可以这样做：

特征值满足 ，再要求两根都在 内——但这条路要讨论二次函数在区间上的根分布，比查两个 的顺序主子式麻烦得多。 双正定是更省力的等价形式。

880 第十五章综合选择 10

原题

设 是 2 阶实对称矩阵，若对任意的 2 维非零列向量 ，都有 ， 均为 2 维列向量，则二次型

的规范形为（　）.

A. 　B. C. 　D.

解析

第一步：由上一题的等价变形，条件 恰好说明正定且正定，（谱语言： 的两个特征值都落在 内，于是 的落在 、 的也落在 ，全正。）

第二步：分块对角阵的惯性指数可加——

两块各贡献 ，合起来 4 阶矩阵满足 ，即正定。

规范形 ，选 C。

分块对角 谱并起来、惯性指数加起来

谱谱谱

本题的高阶外观完全是纸老虎：两块都正定，合起来当然正定，连 具体是什么都不需要知道。

这一题与上一题共用同一个条件，出题人显然是成对设计的——上一题把条件翻译成” 双正定”，这一题直接用这个翻译。见到 就条件反射写出 正定，两题都秒。

1000 强化第 9 章 15

原题

设二次型 ， 的二次型矩阵为 ．

（1）是否存在可逆矩阵 ，使 ？若存在，求出矩阵 ；若不存在，说明理由． （2）求 ，其中 ．

解析

（1） “存在可逆 使 ” 正定。， 正定，故 存在。配方求它：，令 ，即 ，

验证：

（2） 这是广义瑞利商：分母不是 而是 。用第（1）问的 换元，把分母变回标准形式。

令 （ 可逆，），则 ，

于是

取到最值的点： 的特征向量 ，回代 。

验证： 时 ，， ✓

另解（直接算 的谱）

下三角，特征值 ，最大值 ✓ 选择填空首选这一路（不用求 ）。

广义瑞利商 （ 正定）的取值范围是 的谱区间

两条路，看题目要什么：

  • 要过程/要取到最值的点：把 拆成 ，换元 让分母变成 ，转成普通瑞利商；
  • 只要那个数：直接求 的最大特征值。

两者一致的理由： 与 相似（差一个 的相似变换），谱相同。

这与 配方法与可逆线性变换 里的”同时对角化两个二次型”是同一套机器：正定的那个二次型充当新的单位矩阵。

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