由 A 的谱推导出矩阵的规范形

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一、总思路：规范形只数符号，所以只需要谱

全程不需要求出 、也不需要求特征向量。

二、谱转移表（ 的特征值 ，特征向量完全继承）

	特征值
	（ 可逆）；通用式
任意多项式

这张表的前提是" 是 的多项式或有理式"

只有这样， 才与 共用全部特征向量，从而能在同一个 下逐位运算。、（ 与 无关）不适用。

三、从矩阵方程读谱的三步

1. 消掉伴随与逆：把 换成 ，两边乘 ，化成 的多项式方程；
2. 因式分解得零化多项式 全部特征值都是 的根（只是候选，不保证每个都出现）；
3. 定重数：用 、、 中的一个。

第 3 步的选择

• 给了 ：把重数设为未知数，解 （通常只有一组整数解）；
• 给了 ： 的几何重数 ，实对称时即代数重数；
• 给了 ：解一个关于重数的线性方程。

四、 型：绕开谱的捷径

只要判断 是否可逆，不必求 的任何一个特征值。 可逆时规范形直接是 。

必考

880 第十五章综合选择 6

原题

设 是 3 阶实对称矩阵，且 ，，其中 是 的伴随矩阵，则二次型 的规范形为（　）.

A. 　B. 　C. 　D.

解析

第 1 步：消掉伴随。 故 可逆，：，两边左乘 ：，第 2 步：特征值候选。 零化多项式 的根是 与 ，故 的特征值只能取这两个值。

第 3 步：用 定重数。 设 出现 次（）， 出现 次：

		是否
3		✗
2		✗
1		✓
0		✗

规范形是”一正两负”，即 ，选 D。

选项 C 与 D 的区别只是正负号的 个数

C 是 ，D 是 。规范形写成 与写成 是同一个东西（变量换个名字而已），关键看正号有几个。

做这类题时先在草稿上写出 这一对数，再去选项里找匹配，比盯着符号排列不容易乱。

零化多项式给出的是"候选"，不是"全部出现"

只说明特征值 ，不保证两个都出现。本题若 ，答案就是 ， 根本不出现。

所以第 3 步的重数计算是必须的，不能凭”有两个根就各占一些”想当然。见 第14章 特征值的基本性质与多项式变换。

1000 强化第 9 章 2

原题

设 为 3 阶实对称方阵，，且 ，则二次型 的规范形为（　）.

(A) 　(B) 　(C) 　(D)

解析

第 1 步：零化多项式。，特征值只能是 或 。

第 2 步：用秩定重数。， 实对称 几何重数 代数重数，故 二重，剩下一个是 ：，规范形 ，选 (B)。

是"重数"最直接的伪装

本题 一步给出 是二重，比用 或 去解方程更干脆。

顺带确认 确实出现：若谱是 ，则 ，，矛盾。所以第三个特征值必是 ✓

880 第十五章综合填空 2

原题

设 是 3 阶实对称矩阵，二次型 经过正交变换 后的标准形为 ， 是 的伴随矩阵，则二次型 的规范形为 ____．

解析

标准形系数即特征值：， 可逆，，特征值为 ：

（）	（）

3 阶时"取伴随"恰好把 与 对调

当 且 可逆时，。 的符号由 的奇偶决定：

• 为偶（）：每个 与 同号， 不变；
• 为奇（）：每个 与 异号， 对调。

本题 为奇，故 ✓ 这条规律可以拿来自查，但考场上还是老老实实逐个算 最稳。

880 第十五章基础填空 2

原题

设二次型 在正交变换下的标准形为 ，且 ，其中 为 3 阶矩阵，则迹 ____．

解析

第 1 步：从标准形读谱。 标准形只写了两项，第三个系数是 0：，第 2 步：把矩阵方程解成 。，这说明 与 互为逆矩阵（方阵一侧成立即可），即

（顺带验证 确实存在： 的特征值是 ，全非零， 可逆 ✓）

第 3 步：算迹。

"标准形是 "里藏着第三个特征值

3 阶二次型的标准形本该有三项，只写两项说明第三项系数为零。漏掉这个 会把 算错（如果误以为只有两个特征值， 就会变成 ）。

同类提示语还有：“秩为 2”、""、” 有非零解”——都在说同一件事。

这类方程，目标是"把 挤到一边"

标准动作：把含 的项归拢、提公因式。

提完之后立刻检查那个因式是否可逆（用谱）。这是第11章矩阵方程的手法，见 第11章 矩阵方程的求解。

1000 强化第 9 章 7

原题

设 是 3 阶实对称矩阵， 的每行元素之和为 3，则二次型 在 处的值 ____．

解析

“每行元素之和为 3”即

代入：

在特征向量处取值：

这也是瑞利商取到端点的那一行（见 二次型的最值与瑞利商）：在特征向量方向上，瑞利商恰好等于对应的特征值。

本题的”每行和为 3”是特征值条件最常见的伪装， 的其余信息（另外两个特征值、具体元素）完全不需要。

拓展

880 第十五章综合选择 11

原题

设 是 3 阶实矩阵，，且 ，其中 是 的伴随矩阵， 是 3 阶单位矩阵，则二次型 的规范形为（　）.

A. 　B. 　C. 　D.

解析

注意 只是”实矩阵”，没说对称——但这不影响，因为待判的二次型是 型，本来就对称。

第 1 步： 型立刻给出 。 记 ，，且 。所以只剩一个问题： 是否可逆？

第 2 步：求 的谱。 ，：

特征值只能是 或 。设 出现 次、 出现 次（）：

第 3 步： 的谱。，全部非零 可逆 ，于是 正定：

别去算 的特征值——那是弯路

没说对称，所以 的特征值与 的特征值没有简单关系（只有 对称时才有 ）。

但 型根本不需要谱：半正定是白送的，秩等于 。两件事合起来就定死了规范形。看到 的形状，先想”半正定 + 数秩”，不要想特征值。

三个条件各司其职

• 零化多项式 特征值候选 ；
• 定重数 谱 ；
• 的谱平移 判可逆。

缺任何一条都做不下去：只有零化多项式定不了重数（、 都满足），而重数会改变 是否可逆（若谱是 则 仍可逆，但若谱含 ……本题的零化多项式恰好排除了 ，所以 必可逆——这是个可以拿来加速的观察）。

加速版： 不是 的特征值 可逆

零化多项式 已经把特征值限死在 里， 自动出局， 必可逆。这样连重数都不必算， 这个条件都用不上——但考场上写完整推理更保险。

链接

• 方法总纲：标准形与规范形 · 合同与惯性定理 · 正定矩阵的等价刻画
• 同章：由谱反求二次型 · 标准形、规范形与惯性指数 · 正定的判定 · 二次型的最值与瑞利商
• 上一章：第14章 特征值的基本性质与多项式变换（转移表与零化多项式的出处） · 第14章 可对角化的判定 · 第14章 由谱反求矩阵
• 更早：第11章 矩阵方程的求解 · 第11章 用多项式因式分解求逆 · 第10章 由矩阵方程与特征值求行列式
• 易错清单：第15章易错点