考研笔记

由矩阵方程与特征值求行列式

🏠 第10章概念导航 · 行列式题库

方法模板

题目给一个矩阵等式,问某个行列式的值。三条路线,按优先级尝试:

路线一:两边取行列式(适合等式两边都是乘积)

用 、、、。 先把等式因式分解成乘积形式再取行列式,例如 要整理成 。

路线二:特征值(适合问 )

若 的特征值为 ,则对任意多项式 ,

这条对任意方阵成立,不需要 可对角化(由 Schur 三角化即得)。特别地 ,。

怎么拿到特征值?最常见的两个入口:

  • ⟺ 是 的特征值。题目给三个这样的等式,3 阶矩阵的特征值就全齐了。注意 与 等价(差 倍),别被写法唬住。
  • 满足多项式方程 ⟹ 每个特征值都满足 。例如 。注意这只给出候选值,不给重数;重数通常要靠秩或”实对称可对角化”补上。

路线三:构造零因子(适合证明 )

想证 ,只需找到非零向量 使 ,或证明 与 的行列式相等而 为奇数,等等。典型套路是 。

一条极常用的逆的和变形:，两式共享同一个 ,所以已知其一必能求另一。

必考

880 第10章基础填空 7

原题

设 是 阶方阵,且 ,,则 ____。

解析

由 得 ,结合 知 。

走路线三,把 换成 制造公因子:

而 ,于是

几何解释: 是正交矩阵且 ,说明它含一次反射,必有特征值 ,所以 奇异。记住这个结论:行列式为 的正交矩阵一定以 为特征值。

880 第10章基础填空 8

原题

设 是 阶方阵, 是 阶单位矩阵,且 ,,则 ____。

解析

。

反证:若 ,则 可逆,等式两边左乘 得 ,即 ,与题设矛盾。

幂等阵的完整图像

时 必可对角化,特征值只有 和 ,且 的重数 。所以 。""这个条件正是用来排除 这个唯一使 的情形。

880 第10章基础填空 9

原题

设 均为 阶方阵,且 ,则 ____。

解析

两个”逆的和”共享同一个 。先从已知那个提取:

故 。再代入待求的那个:

为什么答案恰好也是 2:因为 。一般地 ,这个比例关系比死记答案有用。

1000题强化篇第1章 6

原题

设 为 3 阶矩阵,若 ,则 （ ）。

A. 　　B. 　　C. 8　　D. 11

解析

说明 是 的特征值。三个条件分别给出 、(,故 是特征值)、。

是 3 阶,恰好凑齐三个特征值 。用 ,取 :

给的是 不是

,这说明 有特征值 ,即 有特征值 。更稳的记法: 是特征值,先把式子整理成 的形状再读 。写成 时,,结论一样。

1000题强化篇第1章 5

原题

设 是 阶实对称矩阵,,且满足 ,,则 ____。

解析

先化简矩阵多项式,再上特征值——顺序反了会白算一遍。，用条件 降次:， 实对称且 ,故 可对角化,特征值只取 ; 的重数等于 , 的重数为 。

也可以直接对 用乘积公式: 给 ( 个), 给 ( 个),

"实对称"在这里管什么

它保证 可对角化,从而 的重数恰是 。若去掉实对称,仅由 其实也能推出可对角化,但考场上直接引用”实对称 ⟹ 正交相似于对角阵”最稳妥。重数从秩来,这是本题的关键一环,只写”特征值是 或 “拿不到答案。

880 第10章综合填空 2

原题

设 均为 3 阶方阵,满足 ,若

则 ____。

解析

先把 整理到一侧并因式分解,这是路线一的标准动作:，两边取行列式:，计算两个数值行列式:

,可以约掉:

约掉 之前必须确认它非零

若 ,等式变成 , 无法确定。凡是要约去一个行列式,先算出它、确认不为零,这是解答题的踩分点。

拓展

1000题强化篇第1章 7

原题

设 为 3 阶矩阵, 是 的 3 个不同的特征值,其对应的特征向量为 ,,。

(1) 证明 可逆;

(2) 若 ,求 。

解析

(1) 由 得

把 的三列在基 下的坐标竖排,得

由”不同特征值的特征向量线性无关”知可逆; 是范德蒙德行列式,(三个特征值互异)。故 , 可逆。

(2) 展开条件:， 线性无关,故每个系数为零:,即 。三个特征值互异,只能

为什么必须用"线性无关"而不能直接说

条件只给了 ,即 落在 的零空间里,并不能推出 。是因为 把三个特征向量全用上了,再靠线性无关逐项归零,才等价地得到每个 。这个”用一个含全部特征向量的向量,把矩阵条件转成特征值条件”的技巧,在第 14 章还会反复出现。

链接

反向链接