考研笔记

矩阵幂 的计算

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方法模板

从不用连乘。先判断 属于哪一类,再套公式:

  1. 秩 1, → 。那个数 就是 ;等于 时 。
  2. 或 → 直接递推。拿到具体矩阵先算一次 ,这是最省时的试探。
  3. , 幂零 → 二项式 ,只有有限项。适用于主对角相同的三角阵:先减主对角看剩下的是不是幂零。
  4. 周期型 (或 ) → 对 取模 。置换矩阵、对合阵、旋转型都在此类。
  5. 可对角化 → ,计算量最大,最后才用。

判断顺序:看是否秩 1 → 算一次 → 减主对角看幂零 → 试周期 → 才考虑对角化。

另有一条不算幂但常配套出现的结构: 时 ,含 的多项式可以整体搬到 上算,不必先把 乘出来。

必考

880 第11章基础填空 1

原题

设 ,,,则 ____。

解析

秩 1,先算那个数:

就是

不必单独做内积,直接看主对角之和 。秩 1 矩阵的唯一非零特征值就是它的迹,这条在第 14 章还要用。

880 第11章基础填空 2

原题

设 ,,, 是 3 阶单位矩阵,则 ____。

解析

同样先算那个数:，关键: 说明 , 幂零,二项式只剩两项:

为什么先算内积再写 :这个数决定走哪条路——为 走幂零二项式,不为 走秩 1 公式。一个内积定全局,先算它。

880 第11章基础填空 3

原题

设 ,则 ____。

解析

不是秩 1()。按顺序,算一次 :

命中第 2 类:

结构解释: 在 上是 (特征值 ),在 上是 ,故特征值为 。 对称必可对角化,于是 ,即 。“算一次 “实质是在验证最小多项式只有两个根,比对角化快得多。

1000题强化篇第3章 2

原题

设 ,则 ____。

解析

上三角、主对角全为 —— 减主对角看幂零:

(右上角 )。

必须落笔算,不能凭"错位"想象

本题 的第一行是 而非 ,所以 的 元是 。幂零阵的二次项是本题型最高频的计算错误。

1000题基础篇第2章 3

原题

设 ,则 ____。

解析

算一次 :，不是 也不是 ,但 ,即 —— 命中周期型,周期为 。由 ,

几何含义: 把 轴转到 轴、 轴转到 轴、 轴不动,是绕 轴的 旋转,转四次归位。看到”置换 + 变号”就试周期。

1000题强化篇第3章 4

原题

设 均是 3 阶矩阵,且满足 ,其中

则 ____。

解析

第一步:解出 的结构,先别乘。 右端提公因子:，,故，第二步:利用相似,把幂搬到中间。 幂等,,所以，第三步:才把 算出来。

自查: 相似于幂等阵,故自身也幂等,验证 成立,与 自洽。本题的价值在”先看相似结构再动手”——直接求出 再算 99 次幂会绕远路。

拓展

880 第11章综合填空 3

原题

设 ,则 ____。

解析

主对角 、其余 ,即

阶全矩阵

命中周期型,按奇偶分:

为偶数为奇数

特征值验算: 的特征值为 (一重)、(三重),故 的特征值为 ,平方后全为 ,与 一致。

880 第11章综合解答 1

原题

设 ,求 。

解析

结构是”两个秩 1 块拼成的反 L 形”:记 、,则 。

按顺序算 :

不是 ,不要就此转去对角化,再算一次 :

为奇数为偶数

那个 的来历:。一般地, 且 时恒有 。这类反 L 形矩阵一律先算这个内积。

没命中就算 ,别急着对角化

本题 的特征值是 ,对角化要处理无理数;而 三行写完。“算到三次幂”是判断顺序里被忽略的一步。

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