线性相关性的判定与证明

🏠 第12章概念导航 · 向量题库

方法模板

定义的两种读法(概念题全靠它们互相翻译):

“存在 / 任意”与”至少一个 / 每一个”的位置就是命题真假的分水岭,这是本题型选择题的主要出题手段。

四条判据

判据	形式
秩	相关
方程组	相关 有非零解()
行列式	时:相关
个数	( 维向量超过 个) 必相关

单向规律(必背)

• 部分相关 整体相关;整体无关 部分无关。
• 加长(每个向量增加分量)保持无关;截短保持相关。
• 无关而添上 后相关 可由前者唯一表示。

“组合的组合”看过渡矩阵

新组由旧组线性组合而成时,把系数竖排成 :

无关且 为方阵时, 无关 。这条把”判断某组合是否无关”直接化成一个行列式。

证明无关的标准动作:设 ,用 作用一次再与原式相减,消掉结构最复杂的那个向量,把问题降到已知无关的子组上。

必考

880 第12章基础选择 1

原题

若 线性相关, 线性无关,则（ ）。

A. 可由 线性表示 B. 可由 线性表示 C. 可由 线性表示 D. 可由 线性表示

解析

由”整体无关 部分无关”, 无关给出 无关。

再看 相关:存在不全为零的 使 。若 ,则 且 不全为零,与 无关矛盾。故 ,，选 。

为什么 B 一定错:若 可由 表示,再把 换成 的组合,就得到 可由 表示,于是 相关——与题设矛盾。“代换后回到矛盾”是排除这类选项的通法。

骨架可复用

“前一组相关 + 去掉一个后仍无关 被去掉的那个可由其余表示”。判据只有一条:相关关系式里那个系数不能为零,否则会破坏已知的无关性。

880 第12章基础选择 3

原题

设向量组 线性无关,则下列向量组线性无关的是（ ）。

A. B. C. D.

解析

先用”找零组合”秒杀:

• A:,相关。
• D:,相关。

剩下 B、C 用过渡矩阵。C 的系数矩阵(列为各 的坐标)

相关。B 的系数矩阵

无关。选 。

(两个行列式都按第一行展开,只有第 、 列非零,故 。)

一般规律(值得记):循环形 在 为偶数时相关、 为奇数时无关;把其中任意一个 改成 ,奇偶性反转。本题 是偶数,全 的 A 相关,改一个符号的 B 无关,改两个符号的 C 又变回相关——A、B、C 三个选项就是在演示这条规律。

880 第12章基础选择 6

原题

设 均为 3 维向量,则对任意常数 和 ,向量组 线性无关是向量组 线性无关的（ ）。

A. 充分必要条件　　B. 充分非必要条件　　C. 必要非充分条件　　D. 既非充分又非必要条件

解析

先验必要性(容易的一半)。设 无关,若

由无关性直接得 。故对任意 那两个向量都无关,必要性成立。

再看充分性——构造退化反例。取 、 无关。此时对一切 都无关;但 使 相关。充分性不成立。

"对任意常数"型条件先猜必要

这类题里”对任意参数都成立”通常是较弱的结论,多半只是必要条件。验必要性从定义直推,证不充分靠构造退化反例—— 是最常用的那一个。

1000题基础篇第3章 1

原题

维向量组 线性相关的充分必要条件是（ ）。

A. 对于任意一组不全为零的数 ,都有 B. 中任意两个向量都线性相关 C. 中任何一个向量都能由其余向量线性表示 D. 中至少有一个向量能由其余向量线性表示

解析

逐个对照定义:

• A:把”存在一组不全为零”错写成”对任意一组”。若 A 成立,取 得 ,取 得 ……逼出所有 ,条件过强。✗
• B:“任意两个都相关”意味着两两成比例,秩 。而 无关、 的组是相关的却不满足 B。充分不必要。✗
• C:把”至少一个”错写成”任何一个”。反例:、 与它们无关,此时组相关但 不能由其余表示。必要性不成立。✗
• D:正是相关性的等价刻画。✓

把选项里的量词圈出来

本章概念题的错项几乎全部由”存在↔任意""至少一个↔每一个”的错位制造。逐字对照定义,不要凭语感。

1000题基础篇第3章 5

原题

设向量组 线性无关,若向量 可由 线性表示,向量 不能由 线性表示,则必有（ ）。

A. 向量组 线性相关 B. 向量组 线性无关 C. 向量组 线性相关 D. 向量组 线性无关

题干还原

OCR 漏掉了选项 C。按四选项的对称结构补回「C. 向量组 线性相关」,不影响答案。

解析

关于 的 A、B 都不”必有”:取 则 相关;取 则无关。两种都可能。

关于 ——反证:若 相关,由 无关(整体无关 部分无关)知 可由 表示,从而更可由 表示——与题设矛盾。故必无关。

结构提炼:” 不能由一个无关组表示 把 添进该组的任何子组都仍无关”。反过来,” 能表示”推不出任何确定结论——它可能恰好等于组内某个向量。一个”能”、一个”不能”,信息量完全不对等,这正是本题设计的要害。

1000题基础篇第3章 10

原题

维向量组 线性无关,,其中 全不为零,则（ ）。

A. 向量组 线性相关 B. 向量组 线性无关 C. 向量组 线性相关 D. 向量组 线性无关

解析

核心事实: 允许把 与 对换。 由

两组 与 互相线性表示,秩相同为 ,而后者恰有 个向量,故无关。D ✓

排除其余:

• B: 是 的组合, 必相关。✗
• A: 含 且 ,由无关性 不能由 表示,故该组无关而非相关。✗
• C:同理 含 ,不能由 表示,该组也无关。✗

“全不为零”管什么:它保证每一个 都能被 顶替。若只有某个 ,就只有那一个位置可换。看到”全不为零”就想”任意位置可对换”。

拓展

1000题基础篇第3章 8

原题

已知向量组 线性无关,则 是向量组 线性无关的（ ）。

A. 充分必要条件　　B. 充分非必要条件　　C. 必要非充分条件　　D. 既非充分又非必要条件

解析

系数竖排成过渡矩阵:

无关,故新组无关 :，新组无关 且 。题给的""比它弱:必要(无关必须 )但不充分( 时 成立而组相关)。

唯一的技术点是系数竖排: 在基 下的坐标是 ,写成 的第一列。写成行会得到 ,行列式碰巧相同,但这个坏习惯在后面追问坐标时会出错。

880 第12章基础解答 9

原题

设 是 3 阶方阵, 为 的分别属于特征值 的特征向量,且 ,证明: 线性无关。

解析

设

用 作用一次,代入 、、:

把 消掉:， 是不同特征值的特征向量,必线性无关,故 。代回 得 ,而特征向量 ,所以 。

三个系数全为零,故 线性无关。

"作用一次再相减"是证无关的主力

目标是消掉结构最复杂的那个向量(这里是 ),把问题降到已知无关的子组上。一次不够就再作用一次()继续消——下一题正是需要作用两次的版本。

880 第12章综合解答 3

原题

设 是 3 阶矩阵, 是 3 维非零列向量,且 ,,证明: 线性无关。

解析

分别属于互异特征值 ,故线性无关, 可逆。

依次作用:

把三个向量在基 下的坐标竖排:

是范德蒙德行列式(节点 互异):，故 ,三向量线性无关。

为什么必然是范德蒙德: 的第 个坐标是 ,把 排成矩阵天然就是范德蒙德。只要 用上了全部特征向量、且特征值互异, 就一定是一组基。 这个结论在第 14 章证” 可逆”时会原样重现,与 第10章那道 1000 强化篇第1章第7题 是同一件事。

链接

• 方法总纲:线性相关性的等价刻画
• 同章:含参向量组的相关性与秩、极大无关组、秩与满秩分解
• 上一章:矩阵的秩:基本公式与 $AB=O$ 型降秩(相关 ,本章把秩翻译成向量语言)
• 几何直觉:线性组合、张成空间与基
• 易错清单:向量组的陷阱