考研笔记

方程组的几何:直线与平面的位置关系

🏠 第13章概念导航 · 线性方程组题库

方法模板

一个线性方程 在空间里就是一张平面,方程组的解集就是这些平面的交集。于是”秩”和”位置关系”是同一件事的两种说法。

空间中三张平面(三元方程组,)

解集几何图像
33唯一解交于一点
22一维()交于一条直线(三面共轴,或两面重合与第三面交于一线)
23无解两两相交但无公共点(三棱柱形),或两面平行、第三面与它们相交
11二维三个平面重合
12无解平面互相平行(至少两张平行且不重合)

背这张表的窍门: 管”法向量有几个方向”, 与 差不差 1 管”有没有公共点”。

有公共点无公共点

平面上的三条直线(三个方程、两个未知数)

交于一点

由于 是 ,常用的必要条件是 ;但还要另外确认 (否则可能是”三线平行”这种 的退化情形)。

平面上的三个点

三点 共线 存在不全为零的 使 对 成立,即

有非零解

(这个行列式的绝对值恰是三角形面积的两倍,面积为零就是共线。)

做几何型选择题的顺序

先把图形语言翻译成”有没有公共点 + 公共点集是几维”,再直接读上面的表。 千万别在脑子里画立体图硬想——三张平面的位置关系有六七种,画错一种就选错。

必考

880 第十三章综合选择 5

原题 设三个不同平面的方程为 相交于一条直线,三个平面方程组成方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 和 ,则( ).

A. B. C. D.

解析

答案 A。两步翻译。

第一步:“相交于一条直线”说明有公共点。 有解 。B、C 都让两个秩相差 1(无解),直接排除。

第二步:“交集恰是一条直线”说明解集是 1 维。解集，于是 ,选 A。

为什么 D 不行: 时解集是 维,即三个平面完全重合成一张平面,交集是平面而不是直线;而且这与”三个不同平面”矛盾。

这题是全章几何题的模板

只用两句翻译:“有公共点” 两秩相等;“交集是 维” 。 后面所有平面题都是这两句的变奏。

1000题强化篇 第5章 14

原题 有三张平面,其中有两张平面平行,第三张平面与它们相交,其方程 组成的方程组的系数矩阵与增广矩阵分别为 和 ,则( ).

A. B. C. D.

解析

答案 A。

第一步:有没有公共点? 两张平面平行且不重合(否则就不叫”平行”而叫”重合”了),它们本身就没有公共点,三张平面自然更没有。方程组无解,故 。这一步排除 B、D。

第二步: 是几? 等于三个法向量 张成的空间维数。

  • 前两张平行 法向量成比例,只贡献 1 个方向;
  • 第三张与它们相交 法向量与前面那个方向不平行,贡献第 2 个方向。

选 A。

对照 C 是什么图形: 意味着三个法向量全平行,即三张平面互相平行; 说明它们不全重合。C 对应的是”三平面平行”而不是本题的图形。

法向量的秩 = 平面"朝向"的个数

:所有平面朝向相同(互相平行或重合);:有两个独立朝向(可能两平行一相交,也可能三面共轴);:三个朝向独立,必交于一点。先数朝向定 ,再看有无公共点定 ,两步永远够用。

"平行"默认不含"重合"

中文题面里”两张平面平行”一般指平行且不重合,所以必定无解。若题目说”两张平面重合”,那就变成 (答案 B),几何上是两面重合、与第三面交于一条直线。一字之差,答案就换。

880 第十三章综合选择 1 / 2

原题 1 设 为平面上三个不同的点,又 ,则三点 在同一条直线上的充分必要条件是( ).

A. B. C. D.

原题 2 设 是连续函数,点 为曲线 上三个不同点,矩阵 同上,则( ).

A. B. C. 或 D. 或

解析

共同的第一步:三个点互不相同 。

的第 行是 。若两行成比例,由第三个分量都是 1 知比例系数只能是 1,那两行就完全相同,对应的两点重合——与”三个不同的点”矛盾。所以任意两行都线性无关,，这个下界是两题的共同钥匙。

第二步:共线 齐次方程组 有”合法”的非零解。

三点共线意味着存在直线 同时过三点,即 是 的解,且 (否则不是直线方程)。

注意:这里的”合法”限制其实是自动的。 若某个解满足 ,代入三个方程得 ,那就是零解。所以存在合法的直线有非零解，原题 1 的答案。 结合 ,三点共线，标准答案取 C。A()要求三行全相同即三点重合,与题设矛盾;D 恰好是”不共线”。

这道题的 B 其实也对

在”三点互不相同”的前提下 已经成立,所以 与 互为充要,B 和 C 是同一句话的两种写法。作为单选题这是个瑕疵。考场遇到就选 C(行列式形式是这类几何判据的标准表述,也是命题人给的”标准答案”),但要清楚真正起作用的是那个隐藏的下界 ——下一题考的正是它。

原题 2 的答案:C。

关键翻译: 在函数图像上 三个 互不相同。 因为若 ,则 ,两点重合,与”三个不同点”矛盾。(函数是单值的,这才是本题的实质;“连续”这个条件其实用不上。)

于是 依旧成立,而 显然。两种情况都能实现:

  • 取 ,三点共线,,;
  • 取 ,三点 不共线,,。

故 或 3,选 C。

两题合看才见设计

原题 1 问”共线的充要条件”(锁定 ),原题 2 问” 的取值范围”(允许 2 或 3)。共同的隐藏前提都是”三点互不相同 “。把这个下界当成条件反射,两题都是十秒题。

"连续"是烟雾弹

原题 2 里 连续与否完全不影响结论,只要 是函数(每个 对应唯一 )就够了。看到多余条件不要硬用,先想清楚哪个条件真正阻止了退化情形——这里阻止 的是”三点不同”,不是”连续”。

880 第十三章综合解答 4

原题 已知平面上三条不同直线的方程分别为，证明:这三条直线交于一点的充分必要条件为 .

解析

方程组的系数矩阵与增广矩阵为

三线交于一点 方程组有唯一解 。

必要性()。 若三线交于一点,则 ,故 。从第二列提出 2、第三列提出 :

这是标准的循环行列式(用第10章”能加就加”:三列相加每行都得 ):

于是，第二个因子可以配方:，它为零当且仅当 。但若 ,三条直线都变成 ,完全重合,与”三条不同直线”矛盾。

所以只能是 。

充分性()。 设 。

(i) 存在公共点——直接把它指出来。 取点 ,代入三条直线:

三条直线都过点 。

(ii) 公共点唯一。 若三条直线两两平行,由于它们都过同一点,就必然三线重合,与”三条不同直线”矛盾。故其中至少有两条不平行,两条不平行的直线恰交于一点,三线的公共点只能是这一个。

所以三线恰交于一点 。

充分性用"猜点"比用秩快十倍

三个方程的常数项分别是 ,而系数分别含 和 ——要让每个方程都凑成 的倍数,只需让 的系数、 的系数、常数项的系数三者相等:取 、(即 )、常数项本来就带 3,三项系数齐刷刷都是 3。这就是 的来历。看到”轮换对称 + 系数带常数倍”的方程组,先试这一招。

"三条不同直线"这个条件必须用两次

必要性里用它排除 ;充分性里用它排除”三线重合/平行”。证明中若没出现这五个字,基本可以断定漏了情形。 这是本题最常见的扣分点。

拓展

880 第十三章综合选择 3

原题 设三个平面的方程为 ,,,则这三个平面经过同一直线的充分必要条件是( ).

A. B. C. D.

解析

答案 C。

第一步:整理成标准形。

三个常数项都是 0,所以方程组是齐次的,恒有解——原点必是公共点, 自动成立。于是”经过同一直线”只取决于解空间维数:存在公共直线解空间，第二步:算 。

前两行的前两个分量互为相反数,直接把它们加起来:，于是

第三步:反向确认。 当 (即 )时,

第二行 第一行,故 ,解空间至少 1 维,三平面确有公共直线(当 时三平面甚至重合,公共直线更是有无穷多条)✓。

当 时 ,只有零解,三平面只交于原点,没有公共直线 ✗。

故充要条件是 ,选 C。

齐次方程组的几何题只看

一旦发现常数项全为零(所有平面都过原点), 就是白送的,判据只剩一个 。做几何题第一眼先看常数项:全零就省掉一半讨论。

这题的行列式有个漂亮结构

是完全平方,所以 只有 这一族根(重根)。选项 A、B 都是二次式,看着像那么回事,但都不是 的零点集。算行列式时把它因式分解到底,答案往往就在因子里直接读出。

1000题基础篇 第4章 15

原题 设平面 ,,,已知这三个平面没有公共交点,则 ____.

解析

答案 。

“没有公共交点” 方程组无解 。

第一步:无解必须 (否则唯一解,交于一点)。按第一行展开:，候选: 或 。

第二步:逐个代回验相容性。

:

后两行完全相同,,有解(而且是无穷多解,三平面交于一条直线)。不符合,舍。

:

末行 ,,无解 ✓

故 。

几何图像: 时三张平面为 、、,法向量分别是 ,秩为 2 —— 三个法向量共面但两两不平行,对应”三平面两两相交成三条平行直线”的三棱柱形,没有公共点。

的两个根命运相反

给出无穷多解(交于一条直线), 给出无解。只算行列式不代回,两个答案里蒙一个,一半概率错。 本章反复强调的”代回验相容性”在几何题里同样一步不能省。

三棱柱形的秩特征

“三平面两两相交,但无公共点”(三棱柱)的秩组合永远是 ——和”两平面平行、第三面相交”完全一样。所以单凭秩无法区分这两种图形,反过来说,题目若只问秩,这两种图形给同一个答案。要区分它们得看法向量:三棱柱的三个法向量两两不平行,而平行情形有两个法向量成比例。

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