考研笔记

向量组的陷阱

🏠 第12章概念导航

按”出错代价 × 出现频率”排序。每条给判据和自查动作。

一、由”秩相等”直接断言等价(最高频)

判据:等价 秩相等,反之不成立。 与 秩都是 却不等价。

正确口径:

自查:算完两个秩后,必须再算一次并组的秩(或验一个包含关系)。

几何说法:秩只说”维数一样大”,等价还要求”是同一个子空间”。→ 该题型

二、量词错位:存在 ↔ 任意、至少一个 ↔ 每一个

判据:

  • 相关 存在不全为零的 使 至少有一个可由其余表示;
  • 无关 只有零解 每一个都不能由其余表示。

自查:把选项里的量词圈出来,和定义逐字对照,不要凭语感。

→ 该题的四个选项全是量词陷阱

三、单向规律反用

四条只能正着用:

成立不成立
部分相关 整体相关整体相关 部分相关
整体无关 部分无关部分无关 整体无关
加长保持无关加长保持相关
截短保持相关截短保持无关

自查:写下箭头方向再用,不要凭”感觉对称”。

四、判断列向量组时做了列变换

判据:初等行变换不改变列向量之间的线性关系(左乘可逆矩阵);列变换会把要判断的对象本身搅乱。

自查:化简过程中每一步问一句”我在动行还是动列”。交换行随便换,列一根不动——一旦换列,极大无关组的编号全乱。

→ 该题型 · 不变性依据

五、含参降秩只解一个方程

判据:向量个数 维数时,矩阵化到阶梯形后往往有两行含参,降秩要求它们同时为零——得到的是方程组,不是一个方程。

典型后果:两个方程无公共解 对任意参数都无关;有公共解则取交集。

自查:化完阶梯形数一数含参的行有几行。选项里那些” 时相关"" 时相关”往往正是只解了其中一个方程的产物。

→ 恒无关的例子 · 取交集的例子

六、候选参数不代回验证

判据:主条件( 或秩不足)给的是候选,附加条件(“任意两个无关""秩恰为 2”)用来筛。

自查:每个候选都要代回原向量组验一遍。出题人通常让一个通过、一个被筛掉;只算主条件就填答案,一半概率错。

→ 该题 · $a=1$ 那档最容易误杀

七、 与 写反

判据: 的列是新基在旧基下的坐标,所以 吃进新坐标 、吐出旧坐标 :，一句话:基向前用 ,坐标向后用 。

自查:代退化情形 、 试一下,两边应当都还原。

→ 该题

八、过渡矩阵系数横排

判据: 的坐标填 的第 列,竖排。

为什么容易漏过去:,只求行列式时写反了也能蒙对,坏习惯被保留下来,直到追问坐标或求 时一次性爆发。

连带:抽象基自带倍数时要除回去——旧基是 时 的坐标是 。

→ 该题的选项 A 正是忘了除、反而乘上去

九、Schmidt 正交化分子分母配错

判据:

分子用分母用

自查:每算完一个 立刻验一次 ,两秒钟。

连带:生成型子空间必须先求秩再正交化,否则会得到零向量而零向量不能单位化。

→ 四个选项覆盖了各种配错组合

十、基向量个数与维数不符

判据:(约束型)或 生成元(生成型)。基里的向量个数必须恰好等于维数。

自查:选择题先数个数,个数不对的直接划掉,不用验算;再验每个向量确实属于 ;最后看无关性。

→ 该题两步筛完

十一、乘法保行还是保列搞混

判据:

行向量组等价列向量组等价只保秩

口诀:左乘保行,右乘保列,两边都乘只保秩。

连带: 与 同解 行向量组等价(零空间由行决定)。

→ 该题的错项 D 就是”两边都乘还以为保行列”

十二、把” 只压不展”的箭头反过来

判据:记 ,则

无关无关

反向一律不成立,反例统一取 。

自查:“像无关”是比”原像无关”更强的信息,能往回推、不能往前推。

→ 该题的三个错项都是把箭头反过来用

十三、比较维数不同的两组是否等价

判据:向量组等价的隐含前提是同维。 的列是 维、 的列是 维, 时根本谈不上等价。

自查:动笔算之前先做尺寸筛查,能在十秒内砍掉一半选项。

→ 该题四个选项有两个连”能不能谈”都不满足

十四、“某个 阶子式为零”当成”秩 ”

判据:非零子式给秩的下界;某一个 阶子式为零只说明那 列(行)相关,秩是所有子式的事。

自查:要断言 ,必须所有 阶子式都为零。

→ 该题的 ①③ 就是这么错的

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