考研笔记

第14章 相似矩阵 易错清单

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按”出现频率 × 扣分幅度”排序,前七条是重灾区。

1. 把”特征值相同”当成”相似”

错在哪:特征值相同只是必要条件。还要每个重特征值的几何重数(即 )也相同。

正确动作:三阶题里,谱对齐之后逐个重特征值算一次秩。

典型:880 基础选择 3 中 与 谱完全相同(),但 、 —— 前者与 相似,后者不相似。

记法:上三角阵对角线有重复数字时,去看”重复数字之间那个位置有没有非零元” —— 有就是真 Jordan 块。

2. 特征值可以是 0,特征向量不可以是 0

错在哪:两个约定不对称。 时 仍然是特征向量(属特征值 0)。

典型:880 基础选择 6 / 1000 基础 5-1 的选项 D(” 不是 的特征向量”)就是为混淆这两件事设的,是错的。

判定动作只有两条: 是不是 的倍数、 是不是非零。倍数是几(包括 0)完全不影响。

3. “必""一定”型选项不去找退化情形

错在哪: 中 可取 0; 在 时为零向量。

正确动作:中文题面出现”必""一定""恒”三个字时,主动去找零向量、、两向量相等这三种边界。

典型:880 综合选择 5 的 A(取 假)与 880 基础选择 6 的 C(题目没说 无关,故差可能为零)。

4. 几何重数与代数重数混为一谈

错在哪:“三重特征值对应两个线性无关特征向量” 几何重数 ,此时 不可对角化;而”可对角化 + 三重” 。两句话对应不同的秩。

正确动作:每次都把公式写全 —— 几何重数 —— 再往里代数字。

典型:1000 基础 5-2 问的是几何重数 2(,),不是可对角化(,矩阵完全不同)。

另外:“重数”不加限定时默认指代数重数;几何重数必须写全称。

5. 由”特征值全为 0”推 (漏了”可对角化”)

错在哪:幂零阵的特征值全是 0,但 。要推 ,必须先有可对角化(实对称、或零化多项式无重根)。

典型对照:

  • 1000 强化 8-13:4 阶实对称 + ,;
  • 去掉”实对称”, 可以是 中任何值 —— 选项里的 1、2、3 就是为此准备的。

同款:880 基础填空 2 中 不能推 。

6. 相似变换的特征向量写成

错在哪: 的特征向量是 ,不是 。

快速自推:,把 写成 ,左乘 得 。新向量总是”用 的逆去接原向量”。

典型:1000 基础 5-5 的选项 C、D 就是把方向写反。

7. 认为 与 有相同的特征向量

错在哪:特征值相同(转置不改特征多项式),特征向量一般毫无关系。

典型:880 基础解答 9 中 的 特征向量是 ,而 的是 —— 完全不同,必须重新解。

顺带: 与 一定相似,而且可取对称的过渡矩阵 。算出的 不对称,多半错了。

8. 与 当成相似

错在哪: 用 , 用 —— 两个不同的矩阵,加起来没有统一的相似变换。

反例(要能现场举出):、、,则 与 的行列式分别是 与 。

一句话判据:能只用 本身(加、乘、逆、数乘、)写出的表达式一律保相似;一旦掺进转置又做加法,立刻警惕。 见 1000 强化 8-11。

9. 时忘了先说明

错在哪:、,两个常数因子必须先证明相等才能合并。

正确写法:相似 ,于是 。

同类:算 的特征值时漏乘 ,写成 。

10. 不可逆时仍用

错在哪: 时 不存在,这条公式失效。

正确动作:改走伴随秩三分法 + 迹。 时 ,故 的特征值是 ,而 是所有 阶主子式之和。

典型:1000 强化 7-1 里 恰好使 ,整条转移表都用不上。

11. 用”非零特征值个数 = 秩”而没确认可对角化

错在哪:这条只对可对角化的矩阵成立。反例: 特征值全 0 而秩 1。

正确动作:求 的三步里,第一步永远是确认可对角化(互异谱 / 实对称 / 无重根零化多项式)。

典型:880 基础填空 3 靠”三个互异特征值”才敢从 读出 。

12. 含参题只验一个根

错在哪:“恰有 2 个不同特征值"" 三重特征值”这类条件常给出两个候选参数,必须都代回验秩。

典型:

这与第13章” 的每个根都要代回”是同一条纪律。

13. 正交对角化漏了单位化

错在哪: 必须是正交矩阵(),列向量只正交不够,还得长度为 1。漏掉后 。

自查动作(两秒):每列平方和 、任两列内积 。

同款错误:跨特征值做 Schmidt 正交化 —— 不同特征值之间本来就正交,不用管;而跨特征值的组合不再是特征向量,做了反而破坏结论。Schmidt 的作用域严格限制在单个特征子空间内。

14. 谱分解漏掉分母

错在哪: 只在 单位时成立。手算出来的基础解系从来不是单位向量,必须写

自查: 的迹是 ,要让每项贡献的迹恰为 ,分母必须是 。

典型:1000 强化 8-19 的分母是 ;漏掉后连”行和为 2”都过不了。

15. “秩 1 一定可对角化”

错在哪:还要 。若 ,特征值全为 0,可对角化就意味着 ,与 矛盾。

典型:880 综合解答 5 的答案正是"";反例 。

顺带: 是数, 是矩阵,转置位置决定一切。

16. 型求 时不按 分岔

错在哪:参数使 时,” 是不是 “取决于 : 时 , 时 。

典型:880 综合解答 6 题干写""就是在提示这里要分。

17. 里 的行列写反

错在哪: 的第 列 = 在基下的坐标,竖着写。写成行就得到 —— 迹和行列式碰巧仍对,特征向量全错。

自检:把 的第 列展开成 ,看是否等于题给的 。

同款:友矩阵抄递推系数时不按基的顺序重排。 的坐标是 (按 排),不是按书写顺序。

18. 问 时答成

错在哪:只有当 的列是特征向量时 才是对角阵。若 这类”自造基”,结果是友矩阵。

典型:880 综合解答 7 问”证明 相似于对角矩阵,并求 “,答案是 而不是 。两句话说的是两个不同的相似变换。

19. 求 使 时公式写反或顺序没对齐

错在哪:(不是 ),且两边的 必须按同一特征值顺序。顺序错了,拼出来的 完全错而且事前发现不了。

记法:“从 出发,先按 的向量走过去(),再按 的向量退回来()”。

动笔前:先把 写在纸上钉死。验算永远用 逐列比对,不要去求 。

顺带: 可整体乘任意非零常数(相似变换里抵消),用来清分母永远合法。

20. 不可对角化时仍用

错在哪:那条公式要求两边都能对角化(需要共同的 )。不可对角化时唯一通法是把 展开成列方程组,逐列解链:

典型:1000 强化 8-10 与 1000 强化 8-18。

21. Jordan 链的方向记反

错在哪: 把链往低位推()。证无关时要从 开始逐次左乘,先杀出最高位的系数。

但:有的题把链写成"",此时 在链尾,要反过来数。

正确动作:动笔前画一次箭头图,标清谁被推向谁。

22. 实矩阵可以有复特征值

错在哪: 型(旋转伸缩块)的特征值是 ,在实数范围内没有特征向量。

正确动作:遇到 块时先算判别式。

典型:1000 强化 8-3(2) 的正确选项 D 就是靠 的判别式 判出不相似。

反过来:题目一旦说”实对称”,复特征值就不可能出现 —— 这也是那三个字的价值之一。

23. 忘了”存在正交矩阵使其对角化” 实对称

错在哪:这类问法根本不用算特征值,直接逐个比对 与 解出参数。

对照:若只说”存在可逆矩阵 “,那是普通可对角化,要老老实实查几何重数。“正交”这两个字值一整段计算。

典型:880 综合解答 10 第 (Ⅱ) 问三个对称条件一致给出 。

24. 把非对称矩阵拿去谈”合同”

错在哪:合同()在考研语境下讨论的是实对称矩阵的等价分类(二次型的矩阵必对称)。

典型:880 综合选择 3 的选项 A 特征值确实是 (与 相似),但它不对称,谈不上与对角阵合同。做题动作:先扫对称性(一眼),再算谱。

25. “等价”与”相似”要求的方向相反

错在哪:等价只管秩(要让矩阵降秩),相似要管全部特征值(要让谱对齐)。

典型:1000 强化 8-12 中 等价要 (), 相似要 (谱对齐)。两问答案不同,别对调。

层级:相似 等价,反之不成立;正交相似 既相似又合同。

26. 忽略”冗余条件”,反而找不到真正的机制

不是错误,是一种能力。本章有多道题故意给出用不上的条件:

做完题回头问一句”哪个条件我没用到”,能显著提高对机制的把握。

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