考研笔记

特征值与特征向量:定义、谱与三条恒等式

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核心问题

矩阵 作用在向量上一般会同时改变方向和长度。有没有一些方向, 只把它拉长/压短、不扭转?这些方向就是特征向量,拉伸倍数就是特征值。

整章的全部内容,都是这一个问题的展开:找到这些方向,把复杂的矩阵变换拆成若干个方向上的独立缩放。

核心定义 / 定理 / 结论

定义

设 是 阶方阵。若存在数 和非零向量 使，则称 是 的特征值、 是属于 的特征向量。

两个不对称的约定,必须分清

  • 特征值可以是 0( 是特征值 不可逆);
  • 特征向量不可以是零向量(否则任何数都成了特征值)。

定义式的三种等价读法

读法形式用途
代数式已知 反求参数,逐分量比对
齐次方程组,求特征向量 = 求基础解系
行列式求特征值

称为 的特征多项式,它是 的 次首一多项式。

三条恒等式

更完整地,特征多项式的系数是各阶主子式之和:

三阶时 是三个二阶主子式之和。若 ，则

因此三阶矩阵的特征多项式可直接写成

常用来快速写出特征多项式而不必硬展开。

特征子空间与两种重数

  • 特征子空间 ,它是一个子空间(对加法、数乘封闭,再补上零向量);
  • 几何重数 ;
  • 代数重数 作为特征多项式根的重数。
几何重数代数重数

无关性定理

不同特征值的特征向量线性无关。 更强:从每个特征子空间各取一组无关向量,合起来仍无关。

推论(极常用): 若 ,则 一定不是特征向量(否则由无关性推出 )。

三个高频翻译

题面立刻写出
每行元素之和为 ,
每列元素之和为 (用 ),特征向量一般不是全 1
是 的非零解,
或” 是 的解”,

典型题型

  1. 给定特征向量反求参数:写 ,先找不含参数的那一行定 ,再逐行回代。
  2. 由部分谱补齐: 与 各给一个方程。
  3. 判”某组合是不是特征向量”:查两条 —— 是不是同一特征子空间内的、是不是非零。
  4. 由某一行反推特征值: 的第 行为 时,。

图示 / 直觉

把 想成一个把整张纸拉扯变形的操作。大多数向量会被转到别的方向去,只有少数几条直线上的向量,变形后仍留在原直线上 —— 那几条直线就是特征方向,拉伸倍数就是特征值。

  • :沿这条线拉长;
  • :压短;
  • :压/拉的同时翻到反方向;
  • :这条线被压成一个点 —— 所以 出现 变换把空间压扁 。

几何入口见 3b1b:特征向量与特征值。

常见误用

  1. 把 当成”不是特征值” —— 零可以是特征值,零向量不能是特征向量。
  2. 认为” 必是特征向量” —— 时不是。中文题里”必""一定”出现时,总要检查退化情形。
  3. 认为同一特征值的两个特征向量之差必是特征向量 —— 差可能为零向量,除非已知它们无关。
  4. 把”特征值相同”当成”矩阵相似” —— 还要看每个重特征值的秩,见 相似不变量与相似的完整判据。
  5. 认为 与 特征向量相同 —— 特征值相同,特征向量一般毫无关系。
  6. “重数”不加限定时误读 —— 默认指代数重数;几何重数必须写全称。

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