消元、自由变量与基础解系

核心问题

高斯消元每一步在做什么、为什么不改变解集?”自由变量”到底怎么认?为什么按标准流程做出来的基础解系天然线性无关?

三种初等行变换(换行、某行乘非零数、某行加另一行的倍数)都等价于左乘一个可逆矩阵 。而

可 逆 与 同 解

必须整行一起做,常数项也是行的一部分。 只变换而不动 ,得到的方程组与原来一般不同解。

化到行最简形(RREF) 后:

认列不认位置。 自由变量不是”排在最后的那几个”,而是”没有主元的那几列”。

这个解在自由变量对应的那几个分量上恰好排成一个单位矩阵。含有满秩子块的向量组必然线性无关。

例 无 关

推论:按流程做的基础解系不必再验无关;靠”作差""凑系数”得来的解则必须单独验。

逐列成立。做一次的行变换即可,所有列共用。若 , 的每一列各带自己的参数—— 是时通解共含个自由参数。

行最简形把方程组重写成”主元变量 = 自由变量的表达式”:

[1 0  6 | 3]      x₁ = 3 − 6x₃
[0 1 −2 | −1]  →  x₂ = −1 + 2x₃      x₃ 自由
[0 0  0 | 0]

自由变量是”旋钮”,主元变量是”跟着转的指针”。 有几个旋钮,解集就有几维;把旋钮全归零得特解,每次只拧一个旋钮到 1 就得一个基础解系向量。

自由变量选错

化到阶梯形后,某个排在后面的变量可能被单独锁死(如 ),它是主元变量而非自由变量。先按列数定 ,再找没有主元的列。

方程组里"没出现"的变量被漏掉

若某个在所有方程里系数都是 0,它是完全自由的,基础解系里必须有这一支。只从”出现过的变量”里挑自由变量会漏解。

只写一个参数

三列就要三套独立参数。写成只描述了全部解的一个一维子集。

提前删"看起来多余"的方程

哪一行冗余要消元之后才知道,不能凭系数长相提前删。