考研笔记

第14章 相似矩阵 题库

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题源:李林 880 第十四章(49 题)+ 张宇 1000 题强化篇第 7 章(9 题)、第 8 章(21 题)+ 基础篇第 5 章(23 题),池 102 题,全部收录(100%),写成 98 篇解析(4 组同源题合并)。必考 82 / 拓展 19。

本章是线代最大的一章,题量约等于第10、11两章之和。不要一口气刷完 —— 按下方”复习顺序”分三轮。

一、特征值的基本性质与多项式变换

→ 题型笔记

必考

  • 880 基础选择:1
  • 880 基础填空:2、3
  • 1000 强化第7章:1
  • 1000 强化第8章:13
  • 1000 基础第5章:4、5、13、18

拓展

  • 880 基础选择:7(线代 + 拉格朗日中值)
  • 1000 基础第5章:21

二、特征向量的判定与线性组合

→ 题型笔记

必考

  • 880 基础选择:6(≡ 1000 基础 5-1)
  • 880 综合选择:5
  • 1000 强化第7章:3、4
  • 1000 基础第5章:3、16

拓展

  • 880 综合解答:4
  • 1000 基础第5章:9、22

三、具体矩阵求特征值与含参定值

→ 题型笔记

必考

  • 880 基础填空:1
  • 880 基础解答:3、4、7
  • 1000 强化第7章:2
  • 1000 基础第5章:2、10、11、15

拓展

  • 880 综合解答:14(第12、13、14 三章缝合)
  • 880 拓展解答:2( 的标准演练)
  • 1000 基础第5章:6(初等变换 = 相似的巧解)

四、可对角化的判定

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必考

  • 880 基础选择:3、4
  • 880 基础解答:8(幂等阵的完整画像)
  • 880 综合选择:8
  • 1000 强化第8章:14、17
  • 1000 基础第5章:7、17

拓展

  • 880 综合解答:12()
  • 1000 强化第8章:1、2
  • 1000 基础第5章:14

五、相似的判定与不变量

→ 题型笔记

必考

  • 880 基础选择:5
  • 880 综合选择:1、2、4
  • 1000 强化第8章:3、4、11、12
  • 1000 基础第5章:19

拓展

  • 880 综合选择:3(既相似又合同,通向第15章)
  • 880 综合解答:15(三问串起相似 + 伴随 + 方程组)

六、由基上的作用定特征值()

→ 题型笔记

必考

  • 880 基础解答:5
  • 880 综合选择:7
  • 880 综合填空:1(≡ 1000 强化 8-16)
  • 880 综合解答:1、7
  • 1000 强化第7章:7、8
  • 1000 强化第8章:6、16

拓展

  • 880 综合解答:16(夹逼定谱 )

七、实对称与正交对角化

→ 题型笔记

必考

  • 880 基础选择:2
  • 880 基础解答:1(全流程样板)、6
  • 880 综合选择:6
  • 880 综合填空:2
  • 880 综合解答:9、13(谱分解定理)
  • 1000 强化第8章:19
  • 1000 基础第5章:12、23

拓展

  • 880 综合解答:10、11(两题共用同一个 )

八、秩1与结构型矩阵的谱

→ 题型笔记

必考

  • 880 基础解答:2
  • 880 综合填空:3(投影阵)
  • 880 综合解答:5( 的完整画像)、6()、8
  • 1000 强化第8章:15(秩1修正)
  • 1000 基础第5章:20

拓展

  • 1000 基础第5章:8

九、由谱反求矩阵

→ 题型笔记

必考

  • 880 基础解答:9()
  • 1000 强化第7章:5、6
  • 1000 强化第8章:7、8

拓展

  • 880 拓展解答:1(本章计算量最大的一道)

十、矩阵幂与递推数列

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必考

  • 880 拓展解答:3(线代 + 级数)
  • 1000 强化第7章:9
  • 1000 强化第8章:9、10(Jordan 求幂)、20(核反应堆)、21(满秩分解降维)

十一、不可对角化与 Jordan 链

→ 题型笔记

必考

  • 880 综合解答:2(幂零链)、3
  • 1000 强化第8章:5、18

旧例题(挂靠本节)

按来源反查

李林 880 第十四章(49 题,全收)

来源题号去向一句话
基础选择 1一、基本性质转移表逐步走
基础选择 2七、实对称非零特征值个数 = 秩
基础选择 3四、可对角化谱相同 ≠ 相似
基础选择 4四、可对角化三秒扫法
基础选择 5五、相似判定”必有”型
基础选择 6二、特征向量特征值可为 0(≡ 1000基础5-1)
基础选择 7一、基本性质拉格朗日中值,斜率 1
基础填空 1三、含参定值迹一行搞定;
基础填空 2一、基本性质 不推
基础填空 3一、基本性质先确认可对角化再读秩
基础解答 1七、实对称全流程样板,含正交
基础解答 2八、秩1与结构(Ⅰ) 对角 / (Ⅱ)
基础解答 3三、含参定值给特征向量,逐分量比对
基础解答 4三、含参定值二重 + 可对角化 ⟹ 秩 1
基础解答 5六、打包 + 两段接力
基础解答 6七、实对称两次正交定第三个方向
基础解答 7三、含参定值先挑不含参的两行
基础解答 8四、可对角化幂等阵;“实对称”多余
基础解答 9九、反求矩阵某行全 1;
综合选择 1五、相似判定四个结论全对
综合选择 2五、相似判定秩 = 平移后剩几个非零
综合选择 3五、相似判定既相似又合同;先扫对称性
综合选择 4五、相似判定三阶单一特征值按秩分三类
综合选择 5二、特征向量 把 粘一起
综合选择 6七、实对称正交补(≡ 综合填空 2)
综合选择 7六、 是相似不变量
综合选择 8四、可对角化范数等式 = 垂直
综合填空 1六、友矩阵(≡ 1000强化8-16)
综合填空 2七、实对称同综合选择 6
综合填空 3八、秩1与结构投影阵;
综合解答 1六、 读出
综合解答 2十一、Jordan幂零链,求三角形
综合解答 3十一、Jordan;相关 ⟹
综合解答 4二、特征向量范德蒙德;
综合解答 5八、秩1与结构 才可对角化
综合解答 6八、秩1与结构; 按 分岔
综合解答 7六、问的是 ,不是
综合解答 8八、秩1与结构交换型结构,和差即特征向量
综合解答 9七、实对称未知元素靠正交性补全
综合解答 10七、实对称”正交对角化” ⟺ 实对称
综合解答 11七、实对称,结果是置换阵
综合解答 12四、可对角化 与 ;可交换 ⟹ 共特征向量
综合解答 13七、实对称谱分解定理的证明
综合解答 14三、含参定值表示不唯一 ⟹ 秩亏;逐根代回
综合解答 15五、相似判定三问: / /
综合解答 16六、夹逼定谱 ⟹
拓展解答 1九、反求矩阵正交定 , 筛掉一支
拓展解答 2三、含参定值,整体乘 3 清分母
拓展解答 3十、幂与递推左特征向量 ;级数和 = 1

张宇 1000 题强化篇 第7章 特征值与特征向量(9 题,全收)

题号去向一句话
1一、基本性质 使 ;
2三、含参定值秩 1 ⟹ 行成比例
3二、特征向量通解 = 特解 + 齐次解;特征值在分母
4二、特征向量拼 的三条规矩
5九、反求矩阵某行全 1;逐行试,
6九、反求矩阵秩 1 反求,
7六、交换型;""冗余
8六、 的搬运对应
9十、幂与递推初值恰是特征向量

张宇 1000 题强化篇 第8章 相似理论(21 题,全收)

题号去向一句话
1四、可对角化和同积不同 ⟹ 无公共根; 否定必要性
2四、可对角化同一 ⟺ ;(C) 互为逆
3五、相似判定(1) 秩1看迹 (2) 实矩阵可有复特征值
4五、相似判定实循环矩阵 ⟹
5十一、Jordan链长 2;
6六、 不是错
7九、反求矩阵,共特征向量
8九、反求矩阵 两支都要写
9十、幂与递推
10十、幂与递推Jordan 求幂;题给的解就是
11五、相似判定 不保相似
12五、相似判定等价要降秩,相似要对齐谱
13一、基本性质实对称 + 幂零 ⟹ 零矩阵
14四、可对角化实对称 ⟺ 三个正交特征向量
15八、秩1与结构秩 1 修正只动一个方向
16六、友矩阵(≡ 880综合填空1)
17四、可对角化两个 + 秩和 ,夹逼
18十一、Jordan、 双验;逐列解链
19七、实对称两解作差得 ;谱分解
20十、幂与递推每个粒子都变 3 个 ⟹
21十、幂与递推

张宇 1000 题基础篇 第5章 特征值与特征向量(23 题,全收)

题号去向一句话
1二、特征向量≡ 880 基础选择 6
2三、含参定值几何重数 2 ⟹ 秩 1; 不可对角化
3二、特征向量” 不可以是”——跨特征值组合
4一、基本性质 才是充要
5一、基本性质伴随不动向量、相似动向量
6三、含参定值一对互逆的行列变换 = 相似
7四、可对角化秩 1 / 秩 2 的对照
8八、秩1与结构两个条件各给一个特征对
9二、特征向量两次反转互相抵消
10三、含参定值中间恒为 0 的分量是钥匙
11三、含参定值讨论型骨架四步
12七、实对称,二项式求
13一、基本性质复根被”实”筛掉 ⟹
14四、可对角化 的反例
15三、含参定值特征值与参数无关,只影响秩
16二、特征向量系数全部消失,只看顺序
17四、可对角化代数重数 2 或 3,靠迹分
18一、基本性质;凯莱–哈密顿伪装
19五、相似判定四个结论全对;③ 要先说
20八、秩1与结构 凑逆
21一、基本性质给 不反解
22二、特征向量范德蒙德分解
23七、实对称秩 1 幂等,

同源合并说明

四组题指向同一份解析(共 4 处,故 102 题写成 98 篇解析):

组关系处理
880 基础选择 6 与 1000 基础 5-1完全同题,仅选项顺序不同,答案都是 A合并为一个锚点,在解析里注明两题通用
880 综合选择 6 与 880 综合填空 2同一设定(实对称、秩 1、 配 ),一问通解一问基础解系保留两个锚点,共用一份解析
880 综合填空 1 与 1000 强化 8-16条件完全一样(),一问 一问全部特征值保留两个锚点,共用一份解析,两个答案都给
880 综合解答 12 与 1000 基础 5-14都证 与 的关系;1000 版多给” 可逆”、多问反例保留两个锚点,合并成一份四段式解析(A/B/C/D)

另有两组”同一矩阵、不同问法”,未合并但已互相注明:

  • 880 基础填空 1 与 880 基础解答 1:同一个 ;
  • 880 综合解答 10()与 880 综合解答 11():化简后是同一个 ,谱都是 ;
  • 880 基础解答 6 的 与 1000 基础 5-23 算出的 :同一个秩 1 阵 。

未收录及理由

本章没有舍弃任何题 —— 102 题全部收录。

原因:第十四章是线代考点密度最高的一章,题型分布极广(基本性质 / 特征向量组合 / 含参定值 / 可对角化 / 相似判定 / 抽象作用 / 实对称 / 秩1结构 / 反求 / 幂与递推 / Jordan),几乎每道题都在某个维度上提供了独立信息。少数手法重复的题(如三道”含参 + 重特征值 + 定秩”)保留下来是刻意的:这类计算必须靠反复练成手上功夫,不能只看不做。

OCR 还原说明(1 处):1000 强化 7-7 原文作”且 “,显系 被识别为 ;按上下文(问"")还原为 ,已在解析中标注。

复习顺序

本章题量大(102 题),必须分轮,不要线性刷。

第一轮:计算线练手(约 3 天)

一 → 三 → 七 → 二

先把”求特征值、求特征向量、求 和 、正交对角化”这四件事练成肌肉记忆。880 基础解答 1 要能默写全流程,一分钟内写完 。第二节的选择题在这之后做,巩固概念边界。

第二轮:判定与结构(约 3 天)

四 → 五 → 八

可对角化与相似是本章最大的失分区,核心只有一句:谱相同 + 各重特征值的秩相同。第八节的秩 1 与结构型矩阵是”送分题库”,公式背熟即可秒杀。

第三轮:抽象与综合(约 3 天)

六 → 九 → 十 → 十一

第六节()是拉开差距的地方,把”打包 + 两段接力”练顺;第九、十节涉及跨章综合(级数、递推);第十一节超纲但年年考,至少要能认出信号并逐列解链。

考前回扫:只看易错清单的前七条 + 各节”方法模板”里的表格。

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