考研笔记

第14章 相似矩阵 概念导航

🏠 第14章题库 · 易错清单

主线

前四章一路在问”矩阵退化了没有、退化到几维、方程还有没有解”。本章换了一个更根本的问题:能不能换一套坐标,让这个矩阵变得尽可能简单?

一句话串起全章:

找不转向的方向每个方向配几维够个对角化换基变简单

一个定义式,一个秩,一次数数,全章定完。 所有题型——含参定值、相似判定、抽象作用、实对称、秩1、求幂、Jordan——都是这条链条在不同外壳下的重复。

常用对照表

看到什么用哪个数
是不是特征值 是否
该特征值配几个特征向量(几何重数)
能否对角化各特征值的几何重数之和是否
相似的完整判据谱相同 且 对每个 ,
可对角化时的秩
特征值之和 / 之积 /
秩 1 阵的唯一非零特征值

核心概念

几何直觉页(建议先看)

典型题型

计算线(先练熟,占分最稳)

判定线(最大的失分区)

抽象线(拉开差距的地方)

应用与超纲线

方法模板

「看到什么 → 用哪招 → 结论」总表:

看到什么用哪招结论
给了一个具体特征向量 写 ,先扫不含参数那一行一步定 ,其余行各管一个参数
” 是 重” + 可对角化三阶 时秩 1 = 所有行成比例
”三重特征值配两个无关特征向量”几何重数 此时不可对角化,别与上一条混
只给了部分特征值 补齐; 复核免费的两个方程
三阶特征多项式难分解行和相等 / 两行差一次式 / 某行只一个非零元 / 提出因子,降到二阶
必须求全部特征值又无结构、 二阶主子式和、三个小行列式比一次三阶展开快
四选一”哪个不能对角化”先扔实对称与三角阵对角线互异只对重特征值算秩
上三角阵对角线有重复数字看重复数字之间那个位置有无非零元有则是真 Jordan 块
谱相同但问是否相似逐个重特征值比 三阶时秩是完整判据
特征值满足 ; 无重根 ⟹ 可对角化反向不成立, 的根未必是特征值
幂等:谱 ,必可对角化,
对合:谱 ,必可对角化,奇偶次幂两种情况
幂零:谱全 0,一般不可对角化实对称 + 幂零 ⟹
可对角化 + 每个 同值 谱全 ⟹
求 先确认可对角化,再数 非零个数不可对角化时定不下来
实对称谱全实 + 必可对角化 + 不同特征值正交三件事都要取出来用
”存在正交矩阵使其对角化” 实对称,逐个比 根本不用算特征值
实对称,知单重的 二重的特征子空间 基础解系随手写
实对称,知二重的两个向量单重那个由两次正交唯一定到倍数唯一
每行元素之和为 ,本章至少五道题这样开局
同一非齐次方程组的两个解作差得齐次解白捡一个特征对
(一串抽象等式)打包 , 的第 列竖着写一切不变量在 上算
要 而只有 两段接力 原基矩阵在左
友矩阵;递推关系就是特征方程把 换 、划掉
交换型:和差即特征向量特征值 ;一般
” 不是 的特征向量” 线性无关用它构造可逆
若干个 + 秩和 每个给一个特征子空间维数下界,夹逼取等 ⟹ 可对角化
先转置成 让 站左边才能读零空间
谱 才可对角化
配 ; 配
对角 、非对角 型:(一重)、( 重)特征向量与 无关
( 单位正交)投影阵:( 重)、( 重),
( 单位特征向量)秩 1 修正:该方向 ,其余不变靠正交性清交叉项
题目给 定 ;绝不反解
却要 的谱伴随秩三分法 + 谱是
给 的某一行 与特征向量一个纯数值方程定
矩阵方程给出 (如 )把 写成 的有理式共享特征向量,别解出
“同时对角化 ” ⟺ 共同特征向量组前提:各自都可对角化
求 秩1 / 零化多项式 / 二项式 / 对角化 / Jordan按此顺序试,前三条不用求特征向量
低秩的高阶矩阵求幂满秩分解 阶代替 阶
递推数列初值按特征向量分解,各乘 初值恰是特征向量时送分
只问 试 是否左特征向量成了就是一阶等比
转移矩阵行(列)和全相等那个公共值是特征值,全 1 向量是右(左)特征向量概率论转移矩阵天天用
”只有一个无关特征向量”三重 + ⟹ 定完参数必须回头验秩
求 使 逐列解链 在此失效
证链上向量无关从 开始逐次左乘先画箭头图确认方向
块形如 先算判别式实矩阵可有复特征值

易错点

完整 26 条见 第14章易错清单。最高频的七条:

  1. 把”特征值相同”当成”相似”(还要比各重特征值的秩)
  2. 特征值可以是 0、特征向量不可以是 0
  3. “必""一定”型选项不去找退化情形(、零向量、两向量相等)
  4. 几何重数与代数重数混为一谈(“配两个特征向量""可对角化”)
  5. 由”特征值全为 0”推 (漏了可对角化)
  6. 相似变换的特征向量写成 (应为 )
  7. 认为 与 有相同的特征向量(值同,向量无关)

复习顺序

见题库页的三轮安排。一句话版本:先把一、三、七、二练成手上功夫(计算),再攻四、五、八(判定与结构),最后啃六、九、十、十一(抽象与综合)。

本章 102 题,是线代最大的一章,务必分轮,不要线性刷。

与前后章的接口

来自第10章 行列式

  • 是特征值的定义式 —— 整章建立在行列式之上。
  • 特征值桥 :第10章当结论用,本章给出证明(经由对角化)。
  • 结构型行列式技巧原样复用:行和相等提因子、两行相减提公因子、按只有一个非零元的行展开 —— 本章”提因式四招”就是那一节的搬运。
  • 的行列式 在第10章算过,本章直接读成谱。
  • 用来由 反推 (1000 强化 8-9、1000 基础 5-21)。

来自第11章 矩阵

  • 伴随恒等式 与秩三分法:本章处理 的谱时二者缺一不可( 时只能走后者)。
  • 的列在 里:抽象夹逼定谱题(1000 强化 8-17、880 综合解答 16)的唯一入口。
  • 凑因式求逆: —— 本章把同一个式子用来读谱。
  • 初等矩阵:一对互逆的行、列变换合起来就是相似变换 ,这是 1000 基础 5-6 巧解的全部依据。
  • 矩阵幂的五条路线:本章补上第五条(Jordan)与第一条的谱解释。
  • 秩不等式:、,在夹逼题里反复出现。

来自第12章 向量

  • 线性无关的判定:“不同特征值的特征向量无关”的证明就是那一套;拼 时的”三列无关”也要靠它。
  • 基、坐标与过渡矩阵: 就是”同一线性变换在两组基下的矩阵”, 是 在基 下的矩阵。第六节整节都是那一章的续篇。
  • Schmidt 正交化与正交矩阵:正交对角化第 3、4 步原样搬来。
  • 极大无关组与表示系数:满秩分解 (1000 强化 8-21)就是”用极大无关组表示其余列”。
  • 向量组等价 vs 矩阵等价:与”相似”的层级对比,1000 强化 8-12 正面考。

来自第13章 线性方程组

  • 求特征向量 = 求 的基础解系 —— 本章全部计算量的来源,动作一步不多一步不少。
  • 直接给出几何重数。
  • “通解 = 特解 + 齐次解”:1000 强化 7-3 把它搬进特征值语言。
  • “同一非齐次方程的两解之差是齐次解”:1000 强化 8-19 靠这一句白捡 的特征对。
  • 逐根代回的纪律:含参题算出 的每个根都要验(880 综合解答 14 的 就是被这样舍掉的)。
  • Jordan 链的每一步都是解一次非齐次方程组,自由变量取 0 最省事。
  • 正交补 :实对称时它变成”不同特征值的特征子空间互相正交”,是本章第七节的引擎。

通向第15章 二次型(七条具体的承接)

  1. 实对称必可正交对角化 = 主轴定理。 第15章”正交变换化标准形”的五步流程,与本章第七节完全相同,一个字都不用改;区别只在把 读成 (正交时两者相等,这正是”既相似又合同”)。
  2. 正定 特征值全正。 判定正定的第一条判据直接由本章的谱给出;半正定 特征值 。
  3. 合同是第三种等价关系。 相似看全部特征值,合同只看正、负特征值的个数(惯性指数)。880 综合选择 3 正面考这个区别,是两章之间最短的一座桥。
  4. 、 是半正定阵的标准构造。 本章第八节把它们的谱( 与非负数)算清楚了,第15章直接拿来用。
  5. 型的正定判定 靠 与 —— 就是本章算出的那两个特征值。
  6. “正定 ⟹ 可逆”的反证套路(取非零 让 得矛盾)在本章 880 综合选择 8 已经露过一面。
  7. 谱分解 到第15章变成”二次型 = 主轴方向上的平方和”, 就是它的坐标版。

与概率的联动

多维正态分布的协方差矩阵是实对称半正定阵,其正交对角化就是”主成分”;而 分布的自由度来自幂等矩阵的秩()。做概率 第18章 多维随机变量 时要回链本章第七、八节；概率论从 第16章 随机事件及其概率 起步。

本章的正交对角化在概率第19章有一道正面考题：协方差矩阵与半正定性 里，把二维正态旋转 角使两个新分量独立，求的就是 的主轴方向——“正交变换消去交叉项”在概率里的意思是”旋转到不相关的坐标系”。旋转角 。 注意题目必须假设 ：否则 有重特征值，特征子空间是二维的，任何正交基都能对角化， 不唯一——这正是本章”重特征值时特征向量不唯一”在概率里的具体后果。

链接

反向链接