考研笔记

二维正态分布

🏠 第18章概念导航

核心问题

一维正态是”最好的分布”，二维正态是”最好的联合分布”——它是唯一一个把边缘、条件、线性组合、独立性全部封闭起来的族。

但它也是本章误解最多的地方，两个方向的箭头必须分清：

二维正态边缘正态反之不成立

边缘正态推不出联合正态，这是本章必须记住的说理点，两个标准反例见下。

核心定义 / 定理 / 结论

一、密度与五个参数

，：

考场上通常不必写出完整密度

用乘法公式 更稳（一个标准正态乘一个条件正态），见 1000 强化 4-5 的另解。

指数里那个二次型的矩阵正是协方差矩阵的逆：

正是非退化条件。 是正定矩阵——这直接接到线代 第15章 二次型。

二、四条特权（只有二维正态有）

1.

一般分布只有”独立 不相关”，反向不成立。二维正态时 让密度直接分离成两个一维正态之积。

2. 任意非退化线性组合都是一维正态

这是判定”是不是二维正态”的常用武器：找一个线性组合证明它不是正态，就否掉了。

3. 条件分布还是正态

两条招牌：条件均值是 的一次函数（回归直线），条件方差是常数（与 无关）。

4. 边缘正态：，。

三、由条件密度反求参数（必考套路）

两个条件均值的斜率相乘等于 ：

相除得 。 两个斜率相等 。

再由条件方差 反解 ，最后用条件均值的常数项定 。

（这两个斜率就是统计里的” 对 的回归系数”和” 对 的回归系数”。）

四、两个必背反例：“边缘正态 二维正态”

反例破绽
密度不可分离； 是奇函数乘积，不影响边缘但破坏正态性
， 独立标准正态，第二、四象限概率为 0

证”不是二维正态”的标准套路：

  1. 找一个二维正态必须满足、而本例不满足的性质（密度处处为正、任意线性组合正态、四个开象限概率都为正…）；
  2. 单独排除退化情形 （此时 几乎处处，通常与其他事实矛盾）。

五、独立正态的线性组合定理

， 独立：

均值线性走，方差平方走。和与差的方差都是相加。

六、配套小结论

中位数在均值处：。选择题问”哪个概率等于 “时，只比较阈值和均值，方差用不上。

半正态： 时 的密度为 ，且

柯西：（独立标准正态之商）服从柯西分布 ，期望不存在。

典型题型

  1. 线性组合求概率——先定 再标准化；
  2. “哪个概率等于 “——只看均值；
  3. 由条件密度反求五参数——两个斜率相乘得 ；
  4. 型——先算 的方差，再套 ；
  5. 证”不是二维正态”——找违反的性质 + 排除 ；
  6. 对称阈值消 ——容斥后两个边缘项之和恰为 1。

图示 / 直觉

二维正态的等高线是椭圆。

  • 且 ：圆（各向同性）；
  • ，：轴平行的椭圆；
  • ：倾斜的椭圆，倾角由 决定， 时椭圆压扁成一条线段。

椭圆的主轴方向 = 的特征向量，主轴长度 特征值——这就是主成分分析。 半正定保证了椭圆存在；见线代 正交对角化。

条件分布的图像：用一条竖直线 去切这个”钟形山”，切面是一条正态曲线，其峰的位置随 沿回归直线移动，而宽度始终不变（条件方差是常数）——这正是特权 3 的几何版。

常见误用

五个高频错误

  1. ——是相加。方差不可能为负，一验即知。

  2. ” 边缘正态且不相关 ⟹ 独立” ——必须先有”二维正态”这个前提。两个反例都在上面。

  3. 里的 当成标准差 ——第二个参数是方差。这是第17章头号失分点在本章的延续。

  4. 写成 ——前者 ，后者 。

  5. 就直接说独立（非正态情形） ——反例遍地：菱形上均匀分布的 就是 但不独立。

与旧知识的连接

  • 第17章的正态标准化 → 本章一切正态计算的基础；
  • 第17章的对称恒等式 → 本章”对称阈值消 “的技巧；
  • 线代的正定矩阵 → 正定 ⟺ 二维正态非退化；等高线椭圆的主轴 = 特征向量；
  • 线代的正交变换 → 主成分分析、“正交变换保持独立正态性”（第21章的 分解要用）；
  • 第19章： 的完整理论、协方差矩阵、 的通式。

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