考研笔记

卷积公式与可加性

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核心问题

两个随机变量相加，分布怎么变？

一维时（第17章）我们处理的是 ——一个变量的函数。到了二维，最重要的函数是 ：它对应”两次等待时间之和""两天的总产量"" 次测量的合计”，是统计学全部理论的起点。

答案是卷积：

左边是通用式，右边（真正的”卷积”）只在独立时成立。

核心定义 / 定理 / 结论

一、卷积公式的推导（一行）

对 求导（在内层积分上限）即得。

二、定限：本节 90% 的分数所在

积分限不是 到 ，而是让两个因子同时非零：

最常见的一种：两个支撑集都是 ，则需 （且 ）。

流程：

  1. 在 平面上画出可行的带状区域；
  2. 用竖直线 常数去切，切出的 区间随 变几次形态， 就分几段；
  3. 每段单独积分；
  4. 验分界点连续 + 验归一性。

三、可加性表（必背）

分布独立相加后附加条件
无
无
必须同
必须同
个 之和同
无（ 的特例）

不可加：均匀分布（ 是三角形密度）、指数分布（不同 时不是指数）、、、柯西（柯西之和还是柯西，但参数是平均不是相加）。

的 是"等到第几次事件"

：“等 2 次”加”再等 3 次”就是”等 5 次”。 这就是泊松过程的等待时间，与第17章的泊松—指数对偶是同一件事。

四、两个必须直接背的卷积

（1）不同参数的指数之和（）：

参数相等时公式失效（分母为 0），退化为 ：。

（2）均匀 任意（ 与 独立）：

均匀分布的卷积 = 对方分布函数的差商（“滑动窗口平均”）。这条能把好几道大题压成一行。

五、离散 连续：叠加式

离散、 连续、独立：

几何意义：把 的图像复制若干份，各自平移 ，按权重叠加。

  • 支撑集 = ；
  • 各份不重叠时，第 段的积分恰好是 （最快的验算）；
  • 段与段之间密度可以跳（只有 必须连续）。

六、离散 离散：卷积求和

二项、泊松的可加性都可以由此直接验证。

典型题型

  1. 两个指数之和——套双指数差通式；
  2. 均匀 + 指数——套差商公式；
  3. 不独立时的和——必须用 ；
  4. 可加性识别——先认出分布族，能套可加性就绝不做积分；
  5. 离散 + 连续——叠加式，注意各段是否重叠。

图示 / 直觉

卷积 = 把一个密度”抹”到另一个上。

固定 ， 收集的是直线 上的全部概率密度。这条 的直线扫过整个平面，扫到的密度总量就画出 。

  • 两个支撑集都在正半轴时，直线只有在 才开始扫到东西——所以 通常是 0；
  • 支撑集有界时（如 ），直线进出的过程有明显的”进—满—出”三段，这就是三角形密度的来历。

“和的分布比每个都更集中”（中心极限定理的雏形）：两个 之和是三角形（中间高两边低），三个之和更接近钟形。见第20章。

常见误用

四个高频错误

  1. 不独立时用 ——通用式是 。用错会得到完全不同的答案（如把 的阶数算成两倍）。

  2. ——和与差的方差都是相加：。

  3. “指数之和还是指数” ——错。 的相加发生在 上：；和是 或双指数差。

  4. 积分限写成 到 ，或先定 再定 ——顺序必须是”先定 的分段，再定 的限”。

与旧知识的连接

  • 第17章的一维变换 → 本页是”两个变量的函数”，方法从”反解 + 雅可比”变成”扫描 + 积分”；
  • 第17章的泊松—指数对偶 → 可加性的物理含义；
  • 第16章的全概率公式 → 离散 + 连续的叠加式就是它；
  • 高数的二重积分与含参积分求导 → 卷积公式的推导工具；
  • 下一章：（无条件成立！）与 在第19章。

题型训练

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