考研笔记

第18章 多维随机变量易错点

🏠 第18章概念导航 · 多维随机变量题库

全章 50 条（全 vault 最多）。带 ★ 的是本章头号失分点，考前只看这几条也值。

一、联合分布函数（第 1–7 条）

★1.

右边算的是 或。一维里”不小于等于”只有一种方式，二维里”不在左下角”有三个象限。正确写法：，记忆：1 减两个边缘，加回一个联合。 这与第16章”不都发生 都不发生”是同一个坑。

2. 矩形不等式不能由前三条性质推出

判定”某函数是不是二维分布函数”时，单调 + 右连续 + 两端 0/1 常常都过，栽在第四条上。反例：。

3. 求 的分段数由支撑集形状决定，不由式子复杂度决定

支撑集是矩形（含无界）→ 常常 2 段；支撑集有斜边（如 ）→ 至少 3 段，斜边两侧表达式不同。

4. 在某一段里”没有 “不是漏写

支撑集完全落在 一侧时， 的半平面上 被 蕴含，。

5. 写完 必须做三处验证

分界线上两式相等； 回到 ； 回到 。花 20 秒能救回一整道大题。

★6. “两个事件独立""两个随机变量独立”

后者要求所有事件对都独立。反例： 时， 与 独立，但 ，。

7. 表判独立用行列式，别逐格验

独立。等价说法：两行成比例（矩阵秩为 1）。这是第16章四格表 的原样搬运。

二、边缘与条件分布（第 8–14 条）

★8. 求边缘时把积分限写成 到

支撑集是三角形时，限里必须带 （或 ）。求 画竖直线，求 画水平线，线穿进穿出支撑集的位置就是限。

限里带另一个变量，正是不独立的信号。

★9. 条件密度不写自变量范围 = 这一小问零分

单看是与 无关的常数，不写 就成了”整条实轴上取常值”，积分发散。范围来自支撑集在这一刀上的切片，这才是条件分布的全部信息量。

★10. 与 是两条完全不同的路

条件用什么
（零概率事件）条件密度积分
（正概率事件）普通条件概率（两个二重积分）

1000 基础 3-10 同一道题里两个答案分别是 与 。

11. 不能写成

连续型下分子分母都是 。条件密度是通过”薄条取极限”重新定义的，不是这个分式。

12. 题目给”边缘 + 条件”时，第一步必须乘出联合密度

看到”当观察到 时， 在 上取值”，就是给了 。不要试图绕过 ，支撑集由两层范围叠加得到。

13. 条件方差总是 边缘方差

二维正态：。“知道了 ， 的不确定性只会减少”。若算出条件方差比边缘方差大，一定错了。

14. 二维正态反求参数：两个回归斜率相乘等于

，相除得 。两个斜率相等 。

三、独立性（第 15–21 条）

★15. 一票否决：支撑集不是矩形 ⟹ 一定不独立

三角形、圆盘、菱形、任何” 的范围随 变”的区域——一句话判掉，不必算任何积分。这是考场上最省时的一招。

16. 反过来不成立：支撑集是矩形推不出独立

还要式子可分离。 的支撑集是整个平面，照样不独立。

★17. “密度表达式里不含 ” “与 无关”

完整的密度是 ——指示函数里藏着 ，还藏着耦合。写密度时必须把支撑集条件当成表达式的一部分。

★18. 边缘正态 二维正态 独立

两个必背反例：

反例破绽
密度不可分离（ 是奇函数积，不影响边缘却破坏正态）
，第二、四象限概率为 0

19. 独立传递到函数，反之不成立

；但 不需要 。例： 时 ，而 （每个切片都对称）。

★20. 不独立时绝不能写

通用式永远是 （对联合密度）。用错会得到完全不同的答案（如把 的阶数算成两倍）。

命题人常把”证不独立”放在前一问，就是要看你有没有用上。

21. 表里出现零格 ⟹ 几乎注定不独立

独立要求 ，一个零格加上两个正边缘就破了。所以先找蕴含关系（造零格），既省计算又提前锁定答案。

四、离散型与和差（第 22–29 条）

22. 离散型下 与 差一个 ，且不为零

连续型下 （对角线零测），两者才相等。离散型千万别顺手改不等号。

23. 分布律含未知参数时，第一步必是归一性

⟹ ⟹ 。答案里还留着参数，一定漏了这一步。

24. 永远不是二项分布

二项取值非负且从 0 开始连续； 关于 0 对称取负值。判”是不是二项”先查取值集合必须是 。

★25. 卷积定限：先定 的分段，再定 的限

顺序错了必错。积分限来自”两个因子同时非零”，最常见的是 （且 ）。

★26. 指数之和不是指数； 相加发生在 上或双指数差， 时 ； 时公式失效，退化为 。

27. 可加性的附加条件不能忘

要同 ； 要同 。正态、泊松、 无条件可加。

28. 密度允许跳，分布函数必须连续

在分段点跳是正常的（如叠加式的各段），只有 必须连续（除非真有原子）。别因为密度跳了就以为算错。

★29. 分解时用生存函数，不是分布函数

在 上是 。误用 会得到单调递减的”分布函数”，一眼就该看出不对。

口诀： 用 ， 用 。

五、全集分解与混合型（第 30–36 条）

★30. “把 换成 “这一步要独立性做许可证

只在 时成立。不独立时要用条件分布。这是全章最常被默默用错的地方。

31. 那支的概率是 （或 ），不是

时 ，事件 要么必然要么不可能，看 的符号。写成 是最常见的错法。

32. 乘以负数必须翻不等号

。分段时先把不等式对每个分支单独化简，再查表求概率。

★33. 同一个随机变量既当选择器又当取值时，两个事件绝不独立

的第二支是 ，不是 。

检验方法：错误写法在分段处必然断开，验分界点连续性就能抓出来。

34. 混合型：跳高必须等于退化分支的概率

。这是最快的自查——两个极限之差对不上就是算错了。

35. 先提公因式再判断： 的系数只取

里的 是随机变量不是常数。整体系数是 ，没有任何伸缩，所以 。写成 是漏了分解。

36. 求二维分布函数 时，每一支里的两个事件必须合并成区间

，不是 ——同一个 ，当然不独立。

六、最值与正态（第 37–45 条）

★37. max 配 ，min 配 ；另两个方向是”并”

、 是并集，必须先取补。同一道题里 而 。

★38. ，不是 也不是

参数相加。 检查：，最小值当然更小。写成 会让均值变大，一验即错。

39. ，不是

求 的密度必须先写 再求导。 不保族（ 不是指数），也没有无记忆性。

40. 离散型下 算的是

左开右闭，一个字都不能错。。

★41. 乘积型不等式先因式分解，再定符号

是命题人的固定手法。分解后：

  • 能定出某因子恒正（如 恒正）→ 直接约掉；
  • 都不定 → 按符号组合分两支。

42. 随机时 不是二项分布

二项的 必须是常数。必须对 求和。泊松稀释：。

★43. ，永远是相加

写成 可能得出负方差。和与差的方差都相加。

★44. ” 独立”只对二维正态和 表成立

一般分布反例遍地：菱形上均匀分布的 就是 但不独立（支撑集是菱形不是矩形）。

题目必须写明”二维正态”才有资格用这条。若只说”均服从 且不相关”，推不出独立。

45. 两个数字细节： 的 是方差；

  • 与 之差是 （）——命题人特意这么设；
  • ；而 ，差得远。分子是 ，分母是 ，整体在根号里。

七、变换与几何概型（第 46–50 条）

46. 雅可比两件事都不能漏：自变量用 ，前面乘

四个选项通常各错一件。验算： 必须等于 1。

47. 变换后支撑集要重算

菱形 在 下变成正方形 。照抄旧区域必错。

48. 积除以，商乘以

；。记反了系数就错。

49. 均匀分布的密度是 ，不是

只有 时才碰巧相等（本章那个三角形恰好如此，容易养成坏习惯）。

50. 二次型的交叉项系数要对半分

对应 ，不是 。误取会让 完全变样。

与相邻章的接续

从第17章延续下来的（做本章时要一起复习）：

  • 第17章第 3 条方差 vs 标准差（ 的 是方差）→ 本章第 45 条；
  • 第17章的混合型与原子 → 本章第 34 条，来源换成”退化分支”；
  • 第17章的递减变换要翻不等号 → 本章 的处理；
  • 第17章的概率积分变换要求 是自己的 → 本章 880 综合解答 7 用对了，1000 强化 5-4 考同一件事；
  • 第17章的对称恒等式 → 本章第 45 条与”对称阈值消 ”。

将在第19章继续的：

  • 第 44 条的 与独立 → 第19章讲透相关系数；
  • 第 43 条的方差相加 → 第19章的 通式；
  • 表的 系数 → 第19章的相关系数定义；
  • 协方差矩阵半正定 → 线代二次型的又一次现身。

下一章易错：这 6 条会原样延续到第19章

1. 的前两项是加号。 本章独立情形下 （和与差方差都相加）在第19章有了通式 ——变号的只有交叉项。写成 可能得负数。

2. 支撑集一票否决。 本章用它判独立，第19章继续用它判”不相关但不独立”：椭圆、三角形、抛物线区域一律不独立，一眼定案。

3. 与独立只在两处等价。 本章记的结论（二维正态、 表）在第19章要能说出理由，且解答题里用这一步必须先论证是二维正态，这是采分点。

4. ""与""两条路。 本章的条件分布到第19章变成条件期望，这条区分原样保留：前者用条件密度，后者用普通条件概率。

5. 混合型的原子不能漏。 本章造原子的手法（随机符号乘以连续变量）在第19章用来造”不相关但不独立”的例子， 那一块质量在算期望时同样要单独计入。

6. 平移/缩放的行为要分清。 本章 、 的平移不变性，到第19章体现为 而 ——期望跟着平移走，方差不理平移但要平方系数。

完整的 52 条见 第19章易错点。

链接

反向链接