考研笔记

二维变换与雅可比

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核心问题

第17章解决了 ：反解 + 乘 。，二维完全同构，只是导数换成雅可比行列式：

两件事都不能漏：自变量换成反解式，前面乘面积缩放因子。

核心定义 / 定理 / 结论

一、一般变换公式

设 是一一对应且连续可微，反解 ，则

新的支撑集：把旧支撑集通过 映过去。这一步常常是全题最难的，也是分数所在。

二、线性变换（考研主力）

特例（纯伸缩）：：，口诀：伸缩多少倍，密度就压扁多少倍（拉长了，高度必须降低才能保持总体积为 1）。

三、 旋转：菱形 ↔ 正方形

关键恒等式：

（由 即得。）

所以菱形 变成正方形 ——一个相依的二维均匀分布被转成了两个独立的一维均匀分布。本章最漂亮的变换。

一般意义：这是”旋转 再放大 倍”。在第21章里同一个变换会以”正交变换保持独立正态性”的面目再现——那正是线代 正交对角化 在概率里的用处。

四、积与商（只要一个新变量时的降维做法）

真正只需要 或 时，不必凑第二个变量，直接用：

记忆：积除以，商乘以——被”消掉”的那个变量，积时在分母、商时在分子。

（推导：补上 ，做二维变换，再把 积掉。）

五、和的公式也是这个家族的成员

——补 ，雅可比 （平移不改变面积），所以没有系数。卷积公式的系数为 1，正是因为它是”剪切变换”，行列式恒为 1。

六、推荐路线：能用分布函数法就用

均匀分布时 面积总面积，纯几何，比套公式更不容易错。四步：

  1. 画支撑集 与曲线 （积 → 双曲线，商 → 过原点的直线）；
  2. 看曲线把 割成什么样，分段；
  3. 每段算面积；
  4. 对 求导得密度，再验归一性。

看到答案里有 ，多半来自双曲线

——只要区域被 割过，答案里几乎一定有 。

典型题型

  1. 伸缩变换的密度（选择题）——反解方向 + 雅可比，两处各有一个诱饵；
  2. ——菱形变正方形，顺带证独立；
  3. 在矩形上——双曲线割矩形，答案含 ；
  4. ——分 与 两段（下限在 处切换）；
  5. 柯西分布的推导——商的公式的经典应用。

图示 / 直觉

雅可比是”面积的伸缩率”。

变换把 平面上的一个小方块 映成 平面上的一个小平行四边形，面积变成 。概率（= 密度 × 面积）必须守恒，所以密度要按相反的比例调整。

这块的概率映过去还是这块

这就是全部——公式只是这句话的代数形式。同样的守恒律在高数的二重积分换元里已经见过（），两处的 是同一个东西。

常见误用

五个高频错误

  1. 自变量代成 而不是 ——方向反了。验算： 必须等于 1，代错方向时通常不等于 1。

  2. 漏掉 ——归一性立刻失败。这是选择题最常见的诱饵。

  3. 新支撑集没重新算 ——变换后区域会变形（菱形 → 正方形），照抄旧区域必错。

  4. 积/商公式的系数记反 ——积是 ，商是 。

  5. 变换不是一一对应还硬套公式 ——如 可以（），但 不行（退化）。此时只能走分布函数法。

与旧知识的连接

  • 第17章的一维变换公式 → 本页是它的二维版，；
  • 高数的二重积分换元 → 同一个雅可比，同一个”面积守恒”；
  • 线代的行列式 → 的几何意义就是”体积伸缩率”，见 第10章 行列式；
  • 线代的正交矩阵 → ，保持面积不变，所以正交变换下密度形式不变（第21章的 分解要用）；
  • 第20、21章：样本均值与样本方差的独立性，本质上是一个正交变换。

题型训练

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