第14章：二重积分

主线

核心概念

• 二重黎曼和与区域识别
• 二重积分的对称、比较与平均值
• 二重积分换序与区域描述
• 雅可比与面积元
• 二重积分换元工具箱
• 极坐标区域与径向结构
• 积分中的平移对称
• 绝对值、最大值与分段区域
• 小区域积分极限与局部平均
• 积分方程中的常数提取
• 物理量积分母式

典型题型

• 比较、局部平均与黎曼和
• 对称、平移与标准矩
• 累次积分、换序与含参求导
• 极坐标区域与径向积分
• 一般换元与雅可比
• 绝对值、最大值与分段区域
• 小区域极限与积分方程
• 形心、转动惯量与不等式

题库

• 重积分题库

复习顺序

1. 先用黎曼和、比较和对称性确定积分对象与可消项。
2. 将每个累次积分还原成区域，再训练换序和区域拼接。
3. 集中处理极坐标与一般雅可比换元，比较不同坐标下的整体复杂度。
4. 处理绝对值、最大值、取整和支撑集分段。
5. 最后整理小区域极限、积分方程、形心和积分不等式。

通向概率论

二重积分是概率论里几何概型与连续型二维分布的唯一计算工具：

1. 几何概型 就是算面积。约束形状直接决定答案长相——（直线）给出有理数，（双曲线）必然带 ，因为面积里出现 。见 概率第16章 随机事件及其概率 与 古典概型与几何概型。
2. 二维密度的归一性 、边缘密度 、期望 ——本章的换序、区域拼接、极坐标全部原样复用。落地处：概率第18章 多维随机变量（题库 67 题，本章工具几乎每题都用）。
3. 本章”先画区域再定限”的纪律，在概率里是最高频的失分点：密度分片定义时积分限必须随区域走。
4. 三处具体对应，做概率第18章时会一一撞上：
   • 求边缘密度 = 画竖直线/水平线定限。支撑集是三角形（如 ）时，限里必带另一个变量——这正是”不独立”的信号；
   • 求二维分布函数 = 分区域二重积分。支撑集有斜边时至少分 3 段，且相邻段在分界线上必须相等（本章的区域拼接纪律）；
   • 圆盘/扇形上的均匀分布用极坐标：极角 均匀且与半径独立，所有”过原点的直线”划出的概率只看张角——本章的极坐标换元在那里能把一道大题压成口算。