绝对值、最大值与分段区域

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方法选择

• 绝对值先找零曲线；能用“整体积分加负区修正”时，可减少分区。
• 按 分界，分界前先确认两边的大小。
• 取整函数、符号函数和分段支撑函数的核心是求各子区域面积或矩。
• 被积函数只在支撑集上非零时，先求支撑集与积分域的交集。

必考

880 第6章基础解答 4

原题

设，计算 。

解析

是圆心 、半径 的上半圆。记 ，先算， 的部分在平移圆 中满足 。用极坐标求得，因此

880 第6章基础解答 6

原题

设 ，计算，其中 表示不超过 的最大整数。

解析

按 将正方形分成四层，面积依次为，对应函数值为 ，故

880 第6章基础解答 7

原题

设 ，计算，

解析

分界线为，其下方取 ，上方取 。因此

化简得

880 第6章基础解答 8

原题

设 ，计算，

解析

记负值区域面积为 ，则 。极坐标下负值条件为，它在两块对称角区 与其对径区域内成立。计算得，故

880 第6章综合解答 1

原题

设 由 与 轴围成，计算，

解析

区域关于 轴对称， 项积分为零。取右半边，边界为，因此

1000 基础篇第14章 19

原题

设 ，且

计算 。

解析

在支撑集内，圆外条件给出，故

1000 强化篇第14章 16

原题

设，计算 。

解析

关于 轴对称，取 后乘 。极坐标下按 分段：

分别使用 ，计算得

1000 强化篇第14章 17

原题

设 ，计算，

解析

绝对值内的零曲线为，它是完全位于半径 大圆内的单位圆。先对整个大圆积分，线性项消失，得 ；小圆内原式为负，其有向积分为 。故

1000 强化篇第14章 18

原题

设 ，计算，

解析

整个正方形上 ，所以只需把正区积分乘 。正区满足 ：

1000 强化篇第14章 21

原题

设 ，计算，

解析

关于 对称。在 上最大值为 ，故

1000 强化篇第14章 30

原题

设 ，计算，

解析

，故先按 分段：，再对 积分，得

1000 强化篇第14章 31

原题

设

计算 。

解析

极坐标下 。按 分段：

使用 ，得

拓展

880 第6章基础解答 1

原题

计算下列积分：

（I） 由 围成，；

（II） 由 围成，；

（III） 由 围成，；

（IV），求，

解析

（I）对 积分，含 的奇项消失：

（II）换序为 ：

（III）换序为 ：

（IV）指数项对 为奇函数，积分为零；剩余项为

880 第6章综合解答 6

原题

设 ，计算，

解析

固定 ，令 ：

故

880 第6章综合解答 8

原题

设 ，计算，

解析

先积 ：

，故 。在 分段使用，得到 。

相关概念

• 绝对值、最大值与分段区域
• 极坐标区域与径向结构