二重积分换元工具箱：区域、雅可比与结构识别

它解决什么问题

第 14 章的计算难点在于动手前识别：

区 域 边 界 、 被 积 函 数 、 面 积 元 是 否 在 暗 示 同 一 个 换 元

一个好换元通常至少解决下面三件事之一：

换元后新区域有三种常用找法。

第一种是反解后代条件。比如，反解为，原区域若是，逐条代入就得到，第二种是直接看边界怎么变。还是上面的换元：

第三种是看顶点。三角形或多边形区域常常只需把顶点映过去，再配合边界直线判断新区域。

二重积分换元公式里需要的是，但如果题目更自然地给出，可以先算正向雅可比：，只要变换在区域内一一对应且雅可比不为，就有

这在“被积函数直接凑雅可比”的题里特别好用。比如，直接算

若区域内，则，于是

这类题的触发信号是：被积函数里有一个看起来像行列式的因子，例如、。

看到三角形区域含 $常数$ ，优先想和-比例换元：或，它常把第一象限三角形变成单位正方形，面积元通常带一个。

看到和同时能简化二次型，想对角线换元：，它的几何意义是用两族斜线扫区域。常见好处是。

看到被积函数或边界里有，并且有简单范围，想比例换元：，此时

看到边界同时出现 $常数常数$ ，想乘积-比值换元：，在的区域内可反解为，并且

看到抛物线和直线 $常数$ ，同时被积函数含，想，因为

被积函数会直接变成雅可比的两倍。

看到区域或被积函数含、圆、扇形、偏心圆过原点，优先想极坐标：，偏心圆在极坐标下常变成，看到，极坐标下通常等价于，若 integrand 中又有，可以试，看到圆心平移后的圆盘或半圆，先平移：，平移后要重新看对称性。圆盘关于两轴对称，半圆只关于一条轴对称。不能把所有一次项都消掉。

看到椭圆，先拉成单位圆：

这些不是必须死记，但非常适合快速消计算。

对圆盘，由轮换对称性：

并且，所以圆盘上遇到可以直接写

对椭圆，先令，得到

本质只有一句：

椭 圆 拉 成 单 位 圆 ， 再 用 单 位 圆 轮 换 对 称 性

这不是换元，但第 14 章很常用。

若要算，且的区域比较简单，可以先算不带绝对值的整体积分，再把负区域翻回来：

如果整体积分为，就更舒服：